Vektorielle Parametergleichung bestimmen

Question

kann mir vielleicht jemand helfen Bzw. sagen, ob ich die folgende Aufgabe richtig löse?

Aufgabe: Gesucht ist eine vektorielle Parametergleichung der abgebildeteten Ebene (siehe Bild)

Mein Ansatz:

Die Punkte der Ebenen ablesen und dann die Differenzvektoren mit den Punkten bestimmen

E1:

A(4|2|0) B(0|2|2) C(3|0|2)

AB= (-4 0 2) 

AC= (-1 -2 2)

x= (4 2 0) +r*(-4 0 2) +s(-1 -2 2)

Bei den beiden anderen Aufgaben komm ich nicht weiter. Entstehen eigentlich nicht unterschiedliche Lösungen, weil man auch die Punkte der Ebenen unterschiedlich ablesen kann?

Vielen Dank

Comments

Die Ebene E1 hast du richtig beschrieben, gut!

Answer 1

Es entstehen keine unterschiedlichen Lösungen, weil du die Punkte unterschiedlich ablesen kannst. Die Punkte können eindeutig abgelesen werden.

Es entstehen unterschiedliche Lösungen, weil du mehrere Möglichkeiten hast, Stützvektor und Richtungsvektoren zu bestimmen. Zum Beispiel hättest du bei E₁ ja auch den Ortsvektor von B als Stützvektor  verwenden können. Und als Richtungsvektoren könntest du unabhängig von der Wahl des Stützvektors die Vektoren CA und BC nehmen können.

Comments

Die drei Punkte im Beispiel E1 können nur deswegen eindeutig abgelesen werden, weil wir vereinfachend angenommen haben, dass sie in den Koordinatenebenen liegen. Das gibt die Abbildung in der vorliegenden Form aber gar nicht her, weswegen der Einwand also völlig berechtigt ist!

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Wenn ein Punkt nicht in der xy-, yz- bzw. xz-Ebene liegt, dann ist die Entfernung zu diesem Punkt von einer dieser Ebenen mittels einer zu der Ebene senkrechten gestrichelten Linie gekennzeichnet.

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Das wollte ich nicht in Abrede stellen.

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Was wolltest du denn dann in Abrede stellen?

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Hm... eigentlich wollte ich nur anmerken, dass ein in der zweidimensionalen Zeichenebene eingezeichneter Punkt eines dreidimensionalen Koordinatensystems im allgemeinen nicht eindeutig bestimmbar ist. Das habe ich vielleicht nicht richtig zum Ausdruck gebracht, aber dein Hinweis "Wenn ein Punkt nicht in der xy-, yz- bzw. xz-Ebene liegt, dann ist die Entfernung zu diesem Punkt von einer dieser Ebenen mittels einer zu der Ebene senkrechten gestrichelten Linie gekennzeichnet." hat diesen Mangel gut ausgeglichen! :-)