Matrizen wenn du kannst, kann ich dir die Antwort unmittelbar geben. Ich bin jetzt nicht so der Fex in ===> projektiver Geometrie ( PG ) solltest du zufällig beabsichtigen, ein Star auf dem Gebiet PG zu werden. In Wiki findest du - genau wie bei allen übrigen matematischen Disziplinen - deine Fragen erschöpfend beantwortet ( und zusätzlich noch Ausführungen, die du nicht verstehen wirst. )
Eine Matrix ist ja das Selbe wie eine ===> lineare Abbildung ( siehe Kowalsky oder Greub; jeweils Band 1 ) Das Problem: Matrizen sind " homogen " , d.h.
x = 0 ===> A x = 0 ( 1 )
Aber gerade für Translationen geht das ja nicht; eine Verschiebung um den Vektor ( a | b ) würde doch bewirken
0 ===> ( a | b ) ( 2 )
Scheinbar gehen Verschiebungen also nicht mit Matrizen. Und da baut man eben diese projektive 3. Dimension an; statt einer 2 X 2 Matrix in der Ebene arbeite ich mit 3 X 3 Matrizen im Raum. Diejenige Matrix T ( " T " wie " Translation " ) die die Verschiebung ( 2 ) bewirkt, wäre dann
1 0 a
T ( a ; b ) = 0 1 b ( 3a )
0 0 1
Du kannst dich gerne mittels Matrizenmultiplikation ( " Matmul " ) überzeugen, dass T das Verlangte leistet. Stell dir bitte Spaltenvektoren vor, die ich von Rechts anmultipliziere; dieser Editor kann nur Zeilenvektoren.
T ( x | y | 1 ) = ( x + a | y + b | 1 ) ( 3b )
Doch schauen wir uns doch mal die ===> Determinante von T an . Das ist nicht schwer zu beantworten, da ALLE Verschiebungsmatrizen ===> Gaußsches Dreiecksformat haben .
det ( T ) = 1 ( 4 )
Und jetzt kommen wir zu den Drehmatrizen; betrachten wir mal speziell nur -drehungen um den Winkel ß um den Ursprung. Ich verweise auf die Literatur; hier müssen wir aber wie gesagt noch um eine " tote " dritte Zeile bzw. Spalte vervollständigen.
cos ( ß ) sin ( ß ) 0
D ( ß ) = - sin ( ß ) cos ( ß ) 0 ( 5a )
0 0 1
Auch hier wieder analog ( 4 )
det ( D ) = 1 ( 5b )
Solltest du noch ungeübt sein. Geh doch einfach über den ===> Determinanten-Entwicklungssatz; in Zeile 3 bzw. Spalte 3 stehen zwei Nullen. Eine 2 X 2 Determinante wirst du ja können; die Behauptung folgt dann mit dem Pythagoras.
Ich möchte doch etwas abstrakter werden. Wie müssen wir vorgehen, wenn die Drehung um Winkel ß erfolgen soll um den Punkt P0 und nicht den Ursprung?
1) Sei T die Verschiebungsmatrix 0 ===> P0
2) Als Erstes müssen wir T ^ - 1 anwenden P0 ===> 0 ( Bekommst du ganz leicht, indem du in ( 3a ) die Vorzeichen von a und b umdrehst. Das ist schon ohne Nachrechnen klar; warum?
3 ) Die Matrix D ( ß ) in ( 5a ) führt die Drehung aus; vorläufiges Ergebnis D T ^ - 1
4) Den Drehpunkt wieder zurück schieben nach P0
D ( ß ; P0 ) = T D ( ß ) T ^ - 1 ( 6a )
Was man an ( 6a ) rein praktisch gut erkennt. I.A. VERTAUSCHEN MATRIZEN NICHT ; Matrix A B ist durchaus etwas anderes als B A Was einen Anfänger wohl fassungslos macht; insbesondere vertauschen DREHUNGEN und VERSCHIEBUNGEN NICHT miteinander. Sonst würde sich ja in ( 6a ) T gegen seine Inverse wegheben.
Zum Glück gibt es ja recht komfortable Online Matrixrechner, die sogar Buchstabenalgebra schon perfektamente drauf haben. Übernimm ruhig ( 3a ) original mit a und b . Ob er allerdings Sinus und Kosinus versteht, hatte ich noch nicht das Vergnügen; zur Not schreib einfach " s " für Sinus und " c " für Kosinus in ( 5a ) Den Output ( 6a ) stelle ich mir einiger Maßen grausig vor; jeden Falls erkennst du schon, wie sich diese drei Parameter a , b und ß fortpflanzen.
Du kannst dir sicher denken, dass vom ersten Tage an bis Heute die Hauptstoßrichtung der matematischen Offensive dahin geht: Gibt es nicht doch irgendwelche Konzepte, für die sich Matrizen ===> kommutativ verhalten? Oben hatte ich dir versprochen: Die Determinante wird dir unmittelbar die Antwort auf deine Frage geben.
Was ist denn die Determinante von ( 6a ) ? Wirf bitte einen Blick in Wiki; Stichwort ===> Äquivalenzrelation Da ich Fremdwörter hasse, sage ich " Gleichheitsbeziehung " ( GB )
Im Hinblick auf ( 6a ) definiere ich
" Zwei Matrizen D1 und D2 mögen äquivalent heißen, wenn es eine Verschiebungsmatrix T gibt, so dass gilt
D2 = T D1 T ^ - 1 ( 6b )
Du weißt; drei Punkte sind nachzuprüfen.
1) reflexiv : Jede Matrix ist zu sich selber äquivalent; setze T := 1| = Einheitsmatrix in ( 6b )
2) Symmetrie: Ist D2 äquivalent zu D1 , dann auch D1 zu D2. Hinweis; ( 6b ) ist eine stink normale Gleichung. Multipliziere von Links mit T ^ - 1 so wie von Rechts mit T , um die Unbekannte D1 zu isolieren.
3) transitiv ; Hinweis: Bilde die Produktmatrix T2 T1
Jetzt auf einmal liegen alle Drehungen um den Winkel ß in der selben Klasse. Drehungen um verschiedene Winkel können nicht der selben Klasse angehören; denn sonst könnte ich sie ja mittels ( 6b ) in den Nullpunkt " ziehen " ( Und es müsste möglich sein, nur durch Anwendung der Einheitsmatrix einen Drehwinkel in einen anderen überzufü+hren. )
Vom Standpunkt der Äquivalenz ist es also gleichgültig, um welchen Punkt gedreht wird; das wichtige Klassenmerkmal ist der Winkel.
Und jetzt suchen wir nach ===> Klassenfunktionen; unter einer Klassenfunktion versteht der Mathematiker eine Abbildung von den Matrizen in die reellen Zahlen, die nicht jeder MATRIX , sondern jeder KLASSE eine Kennziffer zuordnet. Und eine jener Klassenfunktionen ist eben die Deterrminante.
Der ===> Determinanten-Multiplikationssatz ( DMS ) besagt
det ( A B ) = det ( A ) det ( B ) ( 7a )
Genau was wir brauchen; unter der Determinante vertauschen die Matrizen. Dann folgt aber
det ( T ^ - 1 ) = 1 / det ( T ) ( 7b )
det ( T D T ^ - 1 ) = det ( D ) ( 7c )
ÄQUIVALENTE Matrizen haben die SELBE DETERMINANTE .
Ja mehr noch;
det ( A B C D E ... ) = det ( A ) det ( B ) det ( C ) det ( D ) det ( E ) ... ( 7d )
D.h. so lange du nichts weiter tust als Drehungen und Verschiebungen, hast du niemals die Aussicht, je etwas anderes zu bekommen als Determinante Eins .
Mach dir bitte klar, dass die von dir ins Feld geführte " Punktspiegelung " nichts anderes ist als eine Drehung um 180 ° ; Hinweis: Setze ß = Pi in ( 5a )
Und wie geht Schubspiegelung? Ich will spiegeln um eine Achse g ' , deren Parallele durch den Ursprung ich g nenne.
Er meckert grade max Zeichen; es folgt noch der Schluss.
