Welchen Weg haben die Körper je in 4s zurückgelegt?

Question

Aufgabe:

In den Figuren 3 bis 5 ist ie Geschwindigkeit verschiedener Körper dargestellt. Welchen Weg haben die Körper jeweils in 4s zurückgelegt?

Answer 1

Bestimme den Flächeninhalt des Vierecks mit den Ecken (0|0), (4|0), (3|2) und (2|2).

Comments

Wie soll den flächeninhalt bestimmen und wie bist du auf die Ecken gekommen?

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> Wie soll den flächeninhalt bestimmen

Herausfinden, um welche Art von Viereck es sich handelt.

Falls es sich um ein spezielles Viereck handelt, zu dem du die passende Formel kennst, dann wende die Formel an.

Falls nicht, dann könntest du

    - das Viereck in Teile unterteilen, zu denen du Formeln kennst, oder

    - ein Rechteck um das Viereck legen und die dadurch entstandenen Dreiecke von dem Viereck abziehen.

> und wie bist du auf die Ecken gekommen?

Das sind die Ecken des Vierecks.

Ich hoffe, du konntest dir die eigentlich wichtigste Frage selbst beantworten: "Warum ist der Flächeninhalt des Vierecks gleich dem zurückgelegten Weg?"

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Ist das ein Trapez ? wenn ja wie soll ich auf h kommen um den flächeninhalt zu berechnen

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Du kannst die Kästchen zählen. Es sind in jeder Figur 20 Kästchen. Die Frage ist dann: wie groß ist ein Kästchen. In der linken Figur (Fig.3) sind 4 Kästchen:

$$4 \text{K} = 1 \text{s} \cdot 1 \frac{\text{m}}{\text{s}} = 1 \text{m}$$ Und wenn \(4 \text{K} = 1 \text{m}\) sind, dann sich \(20 \text{K} = ? \text{m}\).

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5m

aber das ist mir zu kompliziert . Ich sehe im Körper 1 Rechteck und 2 Dreiecke beim 1 dreieck hat eine Seite 2 und die andere auch 2.

Ich versuch zu vestehen ist aber schwer...

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Hey werner ,  soll man als ergebnis als einheit FE oder m benutzen

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Auf einer Achse hast du die Einheit s und auf der andern m/s.

Wenn du ein Kästchen anschaust, "misst" das mit Einheiten:

(1 s)*(1 m/s) = 1 * (s/1) * (m/s) = 1 (s*m)/(s) = 1 m 

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Ich schrieb: "Du kannst die Kästchen zählen."

Du schreibst: "das ist mir zu kompliziert" Mmmh! - 'eye roll'

Du schriebst: "Ich sehe im Körper 1 Rechteck und 2 Dreiecke. Beim 1. Dreieck hat eine Seite 2 und die andere auch 2." Nicht so ganz - Beim 1. Dreieck ist die Grundseite \(2 \text{s}\) 'lang' und die Höhe ist \(2 \text{m/s}\) - macht als 'Fläche'

$$D_1 = \frac12 \cdot 2 \text{s} \cdot 2 \frac{\text{m}}{\text{s}} = 2 \text{m}$$

Das Rechteck hat eine 'Fläche' von

$$R = 1 \text{s} \cdot 2 \frac{\text{m}}{\text{s}} = 2 \text{m}$$

und das zweite (rechte) Dreieck

$$D_2 = \frac12 \cdot 1 \text{s} \cdot 2 \frac{\text{m}}{\text{s}} = 1 \text{m}$$

Der Gesamtweg äh! -fläche \(s\) ist also

$$s = D_1 + R + D_2 = 2 \text{m} + 2\text{m} + 1\text{m} = 5\text{m}$$ Kannst Du das Verfahren nun auf Fig.4 und Fig.5 übertragen?

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Hallo Werner,
was ich auch schon dem MatheCoach
geschrieben habe
ich halte " Denmathtefrager " für einen Troll.

Kennzeichen eines Trolls ist u.a. das er
Gesprächspartner in eine sinnlose
Endlosdiskussion verwickelt.

DemMathefrager erklärst du wie man den
Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.
Das ist doch  S c h w a c h s i n n  hoch 3.

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Hallo Georg,

ich bin nicht Deiner Meinung, was die 'trolligkeit' von DerMathefrager betrifft. Dazu hat er schon zu viele Fragen gestellt, die IMHO in etwa den Unter- und Mittelstufenstoff betreffen und dort ist auch ein vernünftiges Feedback zu beobachten.

Ich habe ihm auch nicht erklärt, wie man die Fläche eines Dreiecks berechnet, sondern versucht darzustellen, dass 'Fläche' sich aus dem Produkt zweier Größen zusammen setzen kann, die keine Längen sind. (Hier Zeit und Geschwindigkeit) Ich weiß aus meiner Erfahrung mit Nachhilfe, dass viele Schüler mit dieser Abstraktion Schwierigkeiten haben. Sie lassen auch zu gerne immer wieder die Einheiten weg, weil sie das verwirrt. Diese gedankliche 'Hürde' müssen sie erst mal 'packen'. Das ist nicht jedem gegeben.

Dies war auch als Antwort auf Mathefragers Frage gedacht: "soll man als ergebnis als einheit FE oder m benutzen"

Gruß Werner

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Ich bin kein Troll, ich bin hier weil ich bald eine Klausur schreibe und deshalb frage.

Bei der Figur 4 kommt 50 m raus und bei Fig 5 3 m wenn ich mich nicht irre

Ist das immer so das 1 FE = 4 Kästchen sind ?

Ist die Formel vom Dreieck a*c oder 0,5*a*c

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Du schreibst: "Ich bin kein Troll, .." ich halte Dich auch für keinen Troll (s.o.)

In Fig.4 kommt \(50\text{m}\) raus und in Fig.5 sind es \(2,5\text{m}\). Ja - eine FE ist hier \(1\text{m}\) (Meter). Nur: achte bitte auf die Einheiten an den Achsen. 1 Kästchen ist in keinem der drei Fälle eine FE und auch kein Meter.

Du kannst das auch als Trapez rechnen. Die Fläche eines Trapezes ist \(m \cdot h\), wenn \(m\) die Länge der Mittelparallele, bzw. das Mittel von Unter- und Oberseite ist. In jedem der drei Bilder ist \(m=(4\text{s} + 1\text{s})/2=2,5\text{s}\). Die 'Höhen' sind \(2\text{m/s}\), \(20\text{m/s}\) und \(1\text{m/s}\) - also ergeben sich die drei Wege von

$$2,5\text{s} \cdot 2\text{m/s}= 5\text{m} \quad 2,5\text{s} \cdot 20\text{m/s}=50 \text{m} \quad 2,5\text{s} \cdot 1\text{m/s}=2,5\text{m}$$

Gruß Werner

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Okay danke alles verstanden. Ich meinte nicht dich sondern georg

Answer 2

Die Fläche zwischen der geschwindigkeitskurve und der x Achse entspricht der  zurückgelegten Strecke. Bestimme die Fläche indem du sie in mehrere teilflächen zerlegst, zum Beispiel dreiecke und rechtecke, diese einzeln berechnest und dann zusammenaddierst.

Comments

> Die Fläche zwischen der geschwindigkeitskurve und der x Achse entspricht der  zurückgelegten Strecke.

Das sollte wohl schon eine t-Achse sein. 

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Das steht in der Abbildung nicht an der Achse. Also habe ich x gewählt, damit der FS versteht welche Achse ich meine.

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Zur Kontrolle, bei der ersten Grafik muss 5m rauskommen.

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> ... damit der FS versteht welche Achse ich meine.

"Zeitachse" wäre zu diesem Zweck besser geeignet und außerdem richtiger gewesen.

x ist in der Physik nun einmal eine Ortsangabe.

Und das mit den Farben musst du noch üben, das ist nämlich eine Kunstfertigkeit :-)

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Ich werde üben. Habe nämlich Spaß daran entwickelt. Auch wenn es gar keinen Sinn hat, macht es dennoch gute Laune und das ist doch besser als nichts!

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> wenn es gar keinen Sinn hat     (stimmt natürlich in deinem Fall)

Ansonsten: 

Der Herr wird dir vergeben, wenn du nicht weißt, wovon du sprichst. Ob er dir deinen Starrsinn vergibt, weiß ich nicht.

Aber es ist natürlich schön, dass du immer etwas hast, woran du dich hochziehen kannst, wenn dir mit gegenüber die Argumente ausgehen :-)

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Die Fläche zwischen der Geschwindigkeitskurve und der x Achse entspricht der zurückgelegten Strecke.
Bestimme die Fläche indem du sie in mehrere Teilflächen zerlegst, zum Beispiel Dreiecke und Rechtecke, diese einzeln berechnest und dann addierst.

Deine Antwort empfinde ich als tiptop.

Hier zur Erheiterung noch eine Anekdote

  Der Schachspieler Euwe fuhr mit dem Zug. Er kam mit seinem Gegenüber im Abteil ins Gespräch, ohne einander vorzustellen, und man beschloß zum Zeitvertreib Schach zu spielen.

  Im Laufe des Spiels machte sein Gegenüber einen nicht regelgerechten Zug, der dem Gegner auch einen Vorteil verschaffte. Trotzdem gewann Euwe das Spiel souverän.

  Der Gegenspieler dachte bei sich " wie ist das möglich das ich hier gegen jemanden verliere, der zudem die Regeln noch nicht einmal zu kennen scheint" und sagte zu Euwe
" Ich verstehe das nicht das ich hier so haushoch verliere. In meinem Verein gehöre ich mit zu den Besten. Im Verein nennt man mich den kleinen Euwe ".

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Deine Antwort empfinde ich als tiptop.

Das hängt wohl mit deiner oft dargelegten Auffassung von "akademischer Strenge" zusammen :-) 

Answer 3

Eine etwas abstraktere Antwort
s ´( t ) = v ( t )
s ( t ) = ∫ v ( t ) dt

Die Strecke entspricht der Fläche unterhalb
der Geschwindigkeitskurve.

Comments

s ( t ) = ∫ v ( t ) dt  + c  

Nachtrag:

Der Kommentar macht keinen Sinn. 

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@Wolfgang: Sicher, dass das so Sinn macht?

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@Lu:  Wieso nicht ?

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Die Integrationskonstante schreibt man jeweils erst hin, wenn man die Stammfunktion notiert.

Aber du kannst Folgendes schreiben:

s ( t1 ) = s_(0) + _(0) ∫^{t1} v ( t ) dt
EDIT: Integrationsgrenzen ergänzt. 

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Besser wäre es, wenn du darauf hinweisen würdest, dass der Fehler darin liegt, dass die linke Seite der Gleichung die freie Variable t enthält, die rechte aber nicht.

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@Lu

Du hast natürlich recht, danke für den Hinweis. Ziehe meinen Kommentar mit auddrücklichen Bedauern zurück.

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@hj2166. Stimmt da müssten Integrationsgrenzen gesetzt werden. Georgborn hat abgekürzt und t in zwei verschiedenen Bedeutungen verwendet.

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Dann sind wir uns ja einig, dass nur

s(t) = s_(0) + _{t_(0)} ∫ ^t v(τ) dτ    mit  s_(0) = s(t_(0))

richtig ist.

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Du hast - wie fast immer - völlig recht.