Ableiten mit der Kettenregel in einer Kettenregel

Question

Ich hänge seit mehreren Stunden an einer Aufgabe bzw. an einem Typ von Aufgabe und komme mal wieder nicht weiter. Mein Problem ist, dass (so bin ich jedenfalls der Meinung) sich bei folgender Aufgabe die zweifache verkettung der Kettenregel oder wie auch immer man das nennen mag, benutzt werden muss, um diese Funktion abzuleiten.

Es geht um diese Funktion:

$$ f\left( x \right) =cos(ln(3x³)) $$

Wenn ich das bisher gelernte richtig verstanden habe, wird die erste Ableitung gebildet, in dem man die äußere Ableitung mit der inneren Funktion multipliziert und nochmals Nachdifferenzieren muss, in dem man nochmals mit der inneren Ableitung multiplizieren muss. Da sich hier wieder die Funktion ln(3x³) befindet, muss diese ebenfalls per Kettenregel abgeleitet werden. So komme ich zu folgendem Ergebnis:

$$ f\left( x \right) =-sin(ln(3x³))\cdot \frac { 1 }{ 3x³ } (3x³)\cdot 9x² $$

Diese Lösung stimmt leider nicht mit der vorgegebenen Lösung überein und ich finde meinen Fehler einfach nicht. Habe ich die Kettenregel doch nicht verstanden bzw. falsch angewendet?

Vielen Dank und beste Grüße an euch!

Answer 1

Setze

z=3 x^3

dz/dx= 9 x^2

-<

y=cos(ln(z)

v=ln(z)

dv/dz=1/z

------<

y= cos(v)

dy/dv = -sin(v)

y' =dy/dv *dz/dx*dv/dz

= -sin(v) * 9 x^2 *1/z

= -sin(ln(z) * 9 x^2 *1/3 x^3

= -sin(ln(3 x^3)) *9 x^2 *1/3 x^3

= -sin(ln(3 x^3)) *3/x

Answer 2

  Schau mal; du hast einen einzigen geistigen Kurzschluss. An sich bist du ja schon auf dem richtigen -wege.

    Kannst du mir mal verraten, woher du im Zähler diesen Klammerausdruck  (  3 x ² ) hast ???  also die  9  x ²  versteh ich nämlich wieder.

Comments

Ich muss doch den äußeren Teil ableiten, mit dem inneren Teil multiplizieren und mit dem inneren, abgeleiteten Teil multiplizieren oder nicht?

Das wäre dann

ln(3x³)

außen abgeleitet und multipliziert mit dem inneren Teil

1/3x³ * (3x³)

multiplizieren mit der Ableitung des inneren Teils

9x²

also insg.

1/3x³ * (3x³) * 9x²

oder nicht?

---

  Nein da ist wieder dieser Denkfehler.

     ln  (  3  x  ³  )  abgelitten nach dem  "  x-Kubik  "  Argument gibt  1  /   (  3x  ³  )   Die Klammer abgeleitet nach x ergibt  9 x ²  , also summa summarum

        9  x  ²  /  3  x  ³  =  3  /  x

     Mea maxima;  VOR  dem Ausrechnen ist zu kürzen. Ich habe nämlich missachtet, was ich sonst immer predige.  Beachte die logaritmischen Rechenregeln: dann wäre es gar nicht erst passiert.

          ln  (  3  x  ³  )  =  ln  (  3  )  +  3  ln  (  x  )         (  1  )

    

    Das leiten wir jetzt in der Form ( 1 ) ab;   und dann kommt nämlich spontan 3 / x raus.

Answer 3

[ cos ( ln (3x^3) ) ] ´

- sin ( ln (3x^3) ) * [ ln (3x^3) ] ´

[ ln (term) ] ´ = ( term ´) / term
[ ln ( 3x^3 ) ] ´
term = 3x^3
term ´= 9x^2
9x^2 / (3x^3) = 3 / x

- sin ( ln (3x^3) ) *  3 / x
- 3 * sin ( ln (3x^3) ) / x

Das Ergebnis wurde maschinell überprüft.

Answer 4

Vermutlich hattest du dies hier vor:

$$ \left(\cos\left(\ln\left(3x^3\right)\right)\right)' \\ = -\sin\left(\ln\left(3x^3\right)\right) \cdot \dfrac{1}{3x^3} \cdot 9x^2 \\ = \dots $$Das kann man durchaus so machen, denn schließlich ist die Kettenregel ja nicht auf zwei Glieder beschränkt. Praktisch daran ist auch, dass das Ableiten nur einen einzigen Schritt erfordert und zudem keinerlei Vorbereitungen benötigt. Die Ableitung kann anschließend noch vereinfacht werden.

PS: Hier mal die selbe Rechnung in Differentialschreibweise, die sich – wie ich finde – besser zur Beschreibung der Kettenregel eignet: 

$$ \dfrac{\text{d}\left(\cos\left(\ln\left(3x^3\right)\right)\right)}{\text{d}x} \\[20pt] = \dfrac{\text{d}\left(\cos\left(\ln\left(3x^3\right)\right)\right)}{\text{d}\left(\ln\left(3x^3\right)\right)} \cdot \dfrac{\text{d}\left(\ln\left(3x^3\right)\right)}{\text{d}\left(3x^3\right)} \cdot \dfrac{\text{d}\left(3x^3\right)}{\text{d}x} \\[20pt] = -\sin\left(\ln\left(3x^3\right)\right) \cdot \dfrac{1}{3x^3} \cdot 9x^2 \\[20pt]  = -\sin\left(\ln\left(3x^3\right)\right) \cdot \dfrac{3}{x} $$

Comments

So, ich habe die Rechnung zur Ableitung oben noch einmal etwas anders aufgeschrieben.