Einen Körper mit 4 Elementen konstruieren

Question

Die Aufgabenstellung lautet:

Konstruieren Sie einen Körper mit genau 4 Elementen, also K = {0, 1, a, b}. Geben Sie dazu die Verknüpfungstabellen bzgl. Addition und Multiplikation so an, dass es sich bei (K, +) sowie (K \ {0} , ·) um abelsche Gruppen handelt und das Distributivgesetz gilt. Begründen Sie bei der Konstruktion der Verknüpfungstafeln Ihre Entscheidungen!

Wie man eine Verknüpfungstafel macht, ist mir grundsätzlich noch klar, nur leider habe ich gerade überhaupt keine Ahnung, wie man das so anstellt, dass diese Verknüpfungstafeln dann dem Kommutativgesetz (für die abelsche Gruppe) und Distributivgesetz entsprechen.

Und wie soll man beim Addieren/Multiplizieren mit a und b umgehen? Ist a+1=b? Oder was wäre z. B. a*b?

+	0	1	a	b
0	0	1	a	b
1	1
a	a
b	b

:)

Comments

Tipp: Es gilt 1 + 1 = 0.

Answer 1

  Für Doofe; was du doch lernen sollst. Der  ===>  Primrestklassenkörper

    F_p  :=  |Z  /  p  |Z      (  1  )

    mit     ====>  Charakterostik  p  .  Für p = 3 ergibt sich etwa

    F3  =  {  0  ;  + 1  ;  -  1  }     (  2  )

    Empfehlung von mir: z.B.  " Rest mod 19 "  darf nur sein

      0  ;  +/-  (  1 , 2 , ... , 9 )     (  3  )

    du lässr also negative Reste zu; das erhöht die Symmetrie und erleichtert das Rechnen.

   Im Beispiel F3 etwa musst du nur noch wissen 1 * 1 = 1 ;  alle übrigen Multiplikationen eregeben sich aus dem Vorzeichen.

   Und Addition  hast du 1 + 1 = ( - 1 )  ; da musst du bissele aufpassen.

   Das wär's also.

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Danke für die Antwort, aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, in welchem Zusammenhang das mit der Aufgabe steht. :/

Grüße

Answer 2

die Additions- und die Multiplikationstafel findest du hier:

https://de.wikiversity.org/wiki/Kategorie:Der_Körper_mit_4_Elementen

Jetzt musst du dir aber wohl überlegen, wie man mithilfe der Körperaxiome darauf kommt.

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_K%C3%B6rperaxiome

Gruß Wolfgang

Comments

Leider bin ich immer noch nicht darauf gekommen, wie man nun die Buchstaben miteinander multiplizieren soll.

Ich habe die Additionstafel jetzt so gelöst:

+	0	1	a	b
0	0	1	a	b
1	1	a	b	0
a	a	b	0	1
b	b	0	1	a

Ich bin jetzt einfach mal davon ausgegangen, dass a=2 und b=3 ist. Dann wäre ja z. B. a+b=1. Allerdings bezweifle ich jetzt, dass das richtig ist, denn es könnte ja bspw. eigentlich auch a=21 und b=5 sein.

Und wie die Multiplikation hier funktioniert, verstehe ich erst recht nicht, denn diese baut ja auf der Addition auf.

Grüße :)

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Aus 0•x =x•0 = 0  und 1•x =x•1 = x  ergibt sich für die Multiplikatonstabelle sofort

•	0	1	a	b
0	0	0	0	0
1	0	1	a	b
a	0	a	?	?
b	0	b	?	?

Da ({1,a,b} , • )  eine abelsche Gruppe ist, muss in der blauen Teiltabelle in jeder Zeile und Spalte jedes Element aus {1,a,b} genau einmal vorkommen.

Bei der Additionstabelle solltest du den Hinweis  1+1 = 0  von nn beachten.

Es gilt sogar x+x = 0, eine einfache Begründung fällt mir dafür aber leider nicht ein.

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:) Jetzt wird es langsam klarer.

Grüße :)

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x+x=x(1+1)=x*0=0

Üblicherweise nennt man a=x==2 und b=x+1==3 und rechnet nun alles mod 4.

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und rechnet nun alles mod 4.

\( \mathbb{Z} / 4\mathbb{Z} \) ist kein Körper.

Man nennt sie 0, 1, x, x+1 rechnet wie in \( \mathbb{F}_2[x] \) und betrachtet die Ergebnisse modulo \( x^2 + x + 1\).

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Stimmt Emnero, danke für den Hinweis!