Integral bilden mit Parameter als Untergrenze

Question

Gegeben ist folgendes Integral:

a∫^-2 (x-1) * e^x dx            oder             A= [(x-1) * e^x]^-2 a    mit Obergrenze = -2 / Untergrenze = a

Fragestellung: Existiert ein genauer Flächeninhalt ? 

^{Danke für eure Mühe !}

^{Gruß Thomas}

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+(x-1)*e%5Ex

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@Thomas

f ( x ) = (x-1) * e^x
Stammfunktion
∫ (x-1) * e^x  dx
S ( x ) = e^x * ( x -2 )

Stimmt das erst einmal soweit ?

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@georgborn bin mir nicht sicher, der parameter muss mit limes "behandelt" werden, dachte ich

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Ein Parameter kommt bei mir noch nicht
vor.
Es geht mir darum ob die Funktion und die
Stammfunktion so richtig sind.

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hab keine Lösung, ich weiß es nicht

Answer 1

Hallo Thomey,

$$ \int_{a}^{-2} \! (x-1)·e^x \, dx = [e^x·(x - 2)]_a^{-2}=- 4·e^{-2}-e^a·(a-2) $$was meinst du mit 

Existiert ein genauer Flächeninhalt ? 

Da der Graph von f für x < -2 unterhalb der x-Achse liegt, ergibt sich für jedes feste a < -2  zwischen Graph und x-Achse  A = | - 4·e^-2- e^a·(a-2) |

für a → - ∞  [  ist kein Fächeninhalt definiert  (  | - 4·e^-2- e^a·(a-2) | → ∞ ) ] 

    Edit:   A = 4e^-2   (vgl. Kommentare) 

Gruß Wolfgang

Comments

für a → - ∞  ist kein Fächeninhalt definiert  (  | - 4·e-2- e^a·(a-2) | → ∞ )

?

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Du hast natürlich recht:

| - 4·e^-2- e^a·(a-2) | →_{a→ -∞} = 4e^-2   , wegen e^a → 0

Sorry, hatte - überflüssigerweise :-) - im Rechner a→∞  eingetippt.

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Ich denke aber , dass für a gegen - unendlich

der Term   | - 4·e^{-2}- e^a·(a-2) |   den Grenzwert 4*e^{-2} hat, also

sehr wohl eine sinnvolle Flächenmaßzahl angibt.

Answer 2

Das Integral ist (2-a)*e^a - 4/e^2 .

Als Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und Funkionsgraph

kannst du das in manchen Fällen interpretieren.

z.B. für a<-2  und für -2 < a < 1 (dann allerdings den Betrag nehmen.)

Für a>1 nur als Differenz zweier Flächeninhalte.

~plot~ (x-1)*e^x ~plot~

Answer 3

Eine Skizze des Flächeninhalts

Die Formel für den Flächenihalt ist

A ( a ) = | - 4·e^{-2}- e^a * (a-2) |

und ist somit vom Parameter a abhänig.
Geht lim a −> -∞ ist | - 4·e^{-2}- e^a * (a-2) |
= 4·e^{-2} = 0.5413

Bei Bedarf nachfragen.