Integral von (cos(x))^2

Question

ich würde gerne das Integral von (cos(x))^2 zwischen den Grenzen x=0 und x=2pi ausrechnen.

Das ist nicht meine erste Aufgabe, die ich in Sachen Integralrechnung berechne. Nur, stoße ich bei dieser auf ein Problem, dass es mir nicht ermöglicht die Aufgabe zu lösen.

Mein erster Ansatz war es, die Stammfunktion zu bilden, jedoch bin ich dabei gescheitert, weil ich cos x im Zähler und sin x im Nenner stehen habe und man bei 2pi somit mit 0 teilen müsste, was natürlich nicht geht.

Zweiter Ansatz, Substitution. Schön und gut, aber beim substituieren der Grenzen, kommen beiden "neuen Grenzen" cos(0)=1 und cos(2pi)=0 raus und ich habe ein Integral das von 1 nach 1 geht. Also garkeine Fläche dazwischen.

Answer 1

∫ COS(x)^2 dx
∫ COS(x)·COS(x) dx

Partielle Integration ∫ u'·v = u·v - ∫ u·v'

∫ COS(x)·COS(x) dx = SIN(x)·COS(x) - ∫ COS(x)·(-SIN(x)) dx
∫ COS(x)·COS(x) dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ SIN(x)·SIN(x) dx
∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ SIN(x)^2 dx
∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ (1 - COS(x)^2) dx
∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ 1 dx - ∫ COS(x)^2) dx
2·∫ COS(x)^2 dx = SIN(x)·COS(x) + x
∫ COS(x)^2 dx = 1/2·x + 1/2·SIN(x)·COS(x)

Additive Konstante habe ich mal weggelassen.

Comments

Heyho,

Tut mir leid falls ich mich täusche, aber mittels partieller integration ist es doch im ersten schritt:
 ∫ COS(x)·COS(x) dx = SIN(x)·COS(x) - ∫ SIN(x)·(-SIN(x)) dx 
Damit würde folgende Lösung entstehen:
∫ COS(x)2 dx = 1/2·SIN(x)·COS(x) - 1/2·x

Danke für deine Aufmerksamkeit

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Vielen Dank. Ich hab tatsächlich in der einen Zeile einen Schreibfehler gemacht.

Direkt darunter stehst aber richtig, wo ich das Minus ausgeklammert habe

Berichtigung

∫ COS(x)·COS(x) dx = SIN(x)·COS(x) - ∫ SIN(x)·(-SIN(x)) dx
∫ COS(x)·COS(x) dx = SIN(x)·COS(x) + ∫ SIN(x)·SIN(x) dx

Erste Gleichung war verkehrt. Zweite war jedoch richtig. Daher war auch das Ergebnis richtig.

Answer 2

Hallo

mit den Grenzen ist es besonders einfach: da das Integral über sin^2(x) und cos^2(x) in diesen Grenzen dasselbe ist, also kann man integral cos^2(x)+sin^2(x)=1 berechnen und das ganze halbieren.

anderer Weg, cos^2(x)=cos(2*x)+1 (aus Additionstheorem)

Gruß lul

Comments

anderer Weg, cos2(x)=cos(2*x)+1 (aus Additionstheorem)

das ist leider falsch:

richtig:cos^2(x)= 1/2(cos(2*x)+1)

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danke Grosserloewe, du hast natürlich recht!

Gruß lul