Zylinder grösstmöglich abschneiden

Question

Aus einem zylinderförmigen Stamm mit dem Durchmesser d = 30cm soll der grösstmögliche rechteckige Balken geschnitten werden. Wieviel misst der Abfall

a) absolut b) in Prozent des Gesamtvolumens

Answer 1

Hallo

zeichne ein Rechteck a,b in einen Kreis mit d als Diagonale, dann hast du a^2+b^2=d^2 und willst max von a*b

der Abfall hängt dann noch von der Länge des Stammes ab. (Lösung :quadratischer Querschnit kann man auch geometrisch zeigen)

Gruß lul

Answer 2

Aus einem zylinderförmigen Stamm mit dem
Durchmesser d = 30cm soll der grösstmögliche
rechteckige Balken geschnitten werden. Wieviel
misst der Abfall
a) absolut
b) in Prozent des Gesamtvolumens

Der größtmögliche Querschnitt ist das Quadrat.
Kann ich als Extremwertaufgabe auch einmal
vorführen.

A - Stamm = (d/2)^2 * π
A - Balken
d^2 ^= a^2 + a^2 = 2 * a^2
A = a^2 = d^2 / 2
d^2 / 2 zu ( d^2/4) * π
1/2 zu 1/4 * π
0.5 / 0.7854 = 0.6366 = 63.66 %

Comments

Ich verstehe das mit 2a hoch 2 nicht ganz.  Wie ist das zu verstehen?

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Meinst du diesen Schritt
a^2 + a^2 = 1 * a^2 + 1 * a^2 = ( 1 + 1 ) * a^2 = 2 * a^2

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Ja, wieso der gemacht wird.

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a^2 ist die Fläche des Quadrats
d ist bekannt
Pythagoras
d^2 = a^2 + a^2 = 2 * a^2
nach a^2 umstellen
d^2 / 2 = a^2

Vergleich Fläche Quadrat zu Fläche Stamm
( d^2 / 2 ) zu ( d/2)^2 * π
( d^2 / 2 ) / [ ( d/2)^2 * π ]
( d^2 / 2 ) / ( d^2/4 * π )
d^2 kürzt sich weg
( 1/2  ) / ( π / 4 )
0.5 / 0.7854 = 0.6366
Das Quadrat hat 63.66 % der Stammfläche