lösungsgesamtheit bestimmen

Question

Ich komme mit der Aufgabe gar nicht zurecht, kann mir jemand hier helfen ? Danke im Voaus !

Comments

https://www.mathelounge.de/schreibregeln Das ist doch nicht deine erste Frage. Bitte Text als Text eingeben.

Du darfst das in einem Kommentar unter diesem Kommentar nachholen.

Answer 1

  Liebe Judith; du sollst nämlich wissen, dass ich mich über deine LGS  allzeit herzlich freue. Auch diesmal.  Die Moderation wird frohlocken vor allem  " because I ' ve run out of tricks "

    Schau mal hier

https://matrixcalc.org/de/#determinant%28%7B%7BL,0,-1,2%7D,%7B0,1,-1,L%7D,%7B-1,0,1,L%7D,%7B0,-1,L,4%7D%7D%29

   Eine grandiose Hilfe; vielleicht Entwickeln nach der zweiten Spalte. Aber verzeih; DAS tu ich mir jetzt wirklich nicht an.

  " So nochte ene; meine Herren ene " , wie unser Chef Herr Simon , genannt DIE Simone, zu sagen pflegte ...

    -  det  (  L  )  =  L  ³  -  2  L  ²  -  (  L  -  2  )  =  0     (  1a  )

     Aber ein Trick sei mir auch hier verstattet; die Wurzeln von ( 1a )  bekommst du durch eine LMNTAre Umformung:

      - det  =  L  ²  (  L  -  2  )  -  (  L  -  2  )  =   (  1b  )

                =  (  L  ²  -  1  )  (  L  -  2  )   =     (  1c  )

              =  (  L  +  1  )  (  L  -  1  )  (  L  -  2  )     (  1d  )

        L1  =  (  -  1  )  ;  L2  =  1  ;  L3  =  2     (  1e  )

     Um hier einmal ein Zitat des Fischerlexikons aus dem Zusammenhang zu reißen ( Auf Wunsch weise ich es dirmgerne nach )

   " Über die Wurzeln von Polynomen wie ( 1a ) wusste man bis 1975 - GAR NICHTS. "

   Und seitdem hast du den ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) der verlangt, da Polynom ( 1a ) normiert ist, dass rationale Wurzeln ganzzahlig sein müssen. D.h. in jedem Falle, wenn du darauf setzt, dass ( 1a ) vollständig faktorisiert, kommst du durch mit dem ===> Satz von Vieta so wie der ===> cartesischen Vorzeichenregel. Und jetzt kommt eben wieder meine unvermeidliche Protesterklärung.

    User " Ascon " pflaumte mich an, dieses Teorem schimpft sich SRN ( das wusste ich gar nicht ) ; und ich sei " ein Troll, weil ich nicht zitiere, dass der SRN auf Gauß " zurück gehe.

   In der Tat ergab eine Recherche, dass sämtliche Texte das behaupten, die den SRN überhaupt zur Kenntnis nehmen - einschließlich Wiki.

     Ich trete hier vehement auf, dass es sich um eine Fälschung handeln muss. Schau mal in die beiden Standar Algebratexte von Artin und v.d. Waerden ( 1930 )  - die kennen ihn gar nicht ...

   Wie stets bei Fälschungsdebatten habe ich aber noch weitaus mehr Sargnägel gegen Gauß in der Hinterhand -  wenn es gewünscht wird ...

    Darauf hin meldete sich ( in diesem forum )  User " Medicopter " / Mainz

   " Nachgewiesen ist der SRN spätestens seit 1975. Dass er von Gauß stamme, habe ICH nie behauptet ... "

    Judith; Mathe ist also gar kein so sprödes und trockenes Geschäft, wie du glaubst.

   Ist also L nicht gleich einem dieser drei Eigenwerte, ist das LGS eindeutig lösbar. Beginnen wir mit Eigenwert L1 = ( - 2 ) ; auch hier betrachte ich zunächst wieder das homogene LGS .

     x      +   z   -  2   w  =  0     |  :  x             (  2a  )

         y  -   z    -       w  =  0     |  :  x              (  2b  )

    x      -   z     +      w  =  0     |  :  x              (  2c  )

        y  +  z      -  4  w  =  0     |  :  x              (  2d  )

    Y  :=  y / x  ;  Z  :=  z / x ;  W  :=  w / x     (  3  )

              Z  -  2  W  =  (  -  1  )       (  4a  )

     Y  -  Z   -       W  =  0                (  4b  )

             Z   -       W  =  1               (  4c  )

     Y  +  Z   -  4   W  =  0              (  4d  )

   Subtraktionsverfahren ( 4c ) - ( 4a ) ===>  W = 2 ; damit aus ( 4c )  ===>  Z = 3  ; dann aus ( 4b )  Y = 5   Auf die einzige Gleichung, die wir noch nicht verwendet haben, nämlich ( 4d ) , musst du noch die Probe machen. Wir finden also den Kernvektor

  

     Kern  =  (  1  |  5  |  3  |  2  )      (  5  )

      Wir machen jetzt genau so weiter.  Für das ursprüngliche inhomogene LGS zu lösen benötige ich doch nur eine Sonderlösung; abermals gelingt es uns, die 4. Unbekannte x als Dummy zu eliminieren. Denn WENN es eine Lösung

       (  x0  |  y0  |  z0  |  w0  )       (  6a  )

       gibt, dann immer auch eine mit x0 = 0 ;  Beweis

   ( x0 ' | y0 ' | z0 '  | w0 ' ) = ( x0 | y0 | z0 | w0 ) - x0 * Kern =  ( 6b )

     =  (  0  |  y0  -  5  x0  |  z0  -  3  x0  |  w0  -  2  x0  )    (  6c  )  

      D.h. von Vorn herein notiere ich deine sämtlichen Bedingungsgleichungen ohne x .

             z  -  2  w  =  -  µ          (  7a  )
     y  -   z  -      w  =  1             (  7b  )
             z   -     w  =  µ            (  7c  )
     y  +  z   -  4  w  =  -  9        ( 7d )

     Subtraktionsverfahren   ( 7c - 7a ) ===> w = 2 µ , dann aus ( 7c )  z = 3 µ   Aus ( 7b )

    y  =  1  +  5  µ      (  8b  )   Dann steht aber in ( 7d )  
   
      1  =  (  -  9  )  ;  Widerspruch - keine Lösung.
   
    Am Ende der Welt, da ist das ===> Schlaftürlein; und wenn ich zu spät gehe, muss ich ins ===> Kämmerleinletz und bekomm zur Strafe einen Löffel Grießbrei.
    Ich mach dir die beiden anderen Eigenwerte aber auch noch - versprochen.  Ich schicke ab, weil der den Textpuffer nicht hält, falls ich mal wieder einen Systemabsturz habe.
    Schick mir auf jeden Fall einen Kommentar mit diesem Link, weil es hier keine Funktion gibt, Stack auf meine bereits beantworteten Fragen.

Comments

  So ich bin jetzt frisch ausgeschlafen und gefrühstückt und habe auch schon wieder vier Stunden Opernberieselung hinter mir. Wie sieht das jetzt aus mit Eigenwert E2 = 1 ? Auch hier wieder zunächst das homogene LGS .

    x         -  z  +  2  w  =  0          (  2.1a  )       

          y  -  z  +      w  =  0          (  2.1b  )               

    x       -  z   -      w  =   0          (  2.1c  )

         y  -  z   -  4  w  =   0          (  2.1d  )

      Diesmal brauchen wir wirklich keinen Divisionsalgoritmus;  folgende Substitution

        u  :=  x  -  z  ;  v  :=  y  -  z       (  2.2  )

     Setze dies ein in ( 2.1a-d )

           u  +  2  w  =  0       (  2.3a  )

           v  +       w  =  0       (  2.3b  )

           u  -       w  =  0        (  2.3c  )

           v  -   4   w  =  0        (  2.3d  )

    Einsetzen von  u    aus ( 2.3c ) in ( 2.3a )   bzw.  v  aus ( 2.3d )  in  ( 2.3b )  liefert  w  =  0        Bedingung  w = 0  führt ihrerseits auf  z  =  x  in ( 2.1a;c )  und  z = y in ( 2.1b;d )    Wir haben also

    Kern  =  (  1  |  1  |  1  |  0  )         (  2.4  )

     Genau wie oben  ( 1.6a-c )  können wir in deinem eigentlichen inhomogenen LGS  wieder oBdA  voraus setzen   x  =  0  Es ist auch egal;  natürlich könntest du dich auch entscheiden für  y  =  0  oder  z  =  0   (  Du kannst aber nicht von Vorn herein ohne triftigen Grund annehmen, dass mehrere Unbekannte gleichzeitig verschwinden. )  Die einzige Unbekannte, die du  auf diesem Wege niemals los wirst, ist   w  ;  denn die  w-Komponente  in  (  2.4 )  ist Null.  Also unterdrücken wir wieder x .

            z  -  2  w  =  -  µ          (  2.5a  )

    y  -  z   +     w  =  1            (  2.5b  )

           z   +      w  =  µ        (  2.5c  )

   y  -   z   -  4   w  =  (  -  9  )     (  2.5d  )

   Wieder Subtraktionsverfahren  ( 2.5c ) - ( 2.5a )   ===>  w  =  ( 2/3 )  µ  ;  z  =  µ / 3   Dann aus ( 2.b )  ===> 

      y  =  1  -  µ / 3     (  2.6b  )

    Und aus ( 2.5d ) schließlich µ = 3   und damit

     y  =  0   ;  z  =  1  ;  w  =  2       (  2.7  )

   In worten: Lösbar ist das LGS nur für die Wahl µ  =  3 . Indem wir x = 0 gesetzt haben, verschwindet  gleichzeitig auch y .

---

  Verbliebe noch E3 = 2 .

      2  x      -        z  +  2  w  =  0      |    :  w     (  3.1a  )

              y  -       z  +  2  w  =  0      |    :  w    (  3.1b  )

         x       -      z   -  2  w  =  0      |    :  w    (  3.1c  )

              y  -  2  z   -  4  w  =  0      |    :  w    (  3.1d  )

      X  :=  x / w  ;  Y  :=  y / w  ;  Z  :=  z / w    (  3.2  )

    2  X     -          Z  =  (  -  2  )         (  3.3a  )

            Y  -        Z  =  (  -  2  )       (  3.3b  )

       X      -        Z  =  2                 (  3.3c  )

           Y  -  2    Z  =  4                 (  3.3d  )

      Substituiere in ( 3.3c )

        u  :=  X  -  Z  =  2       (  3.4c  )

     Dann wird (  3.3a  )

     X  +  u  =  (  -  2  )  ===>  X  =  (  -  4  )      (  3.4a  )

    Dann aus ( 3.3c )  Z = ( - 6 )  so wie ( 3.3b )  Y  =  ( - 8 )

  Bleibt noch die Probe auf ( 3.3d )

  

     Kern  =  (  -  4  |  -  8  |  -  6  |  1  )      (  3.5  )

    Noch ein Nachtrag, den ich bei ( 1.2a-d ) vergessen hatte zu erwähnen.  Division durch w ist natürlich nur dann statthaft, wenn es keinen nicht rivialen Kern für  w  =  0  gibt.  Das ist jedoch von Vorn herein ausgeschlossen, da  ( 3.1a-c )  für  w  =  0  und ( 3.3a-c )  die selbe Koeffizientenmatrix haben.

   Diesmal unterdrücken wir in dem inhomogenen LGS die  Unbekannte w .    Nochmal; warum tun wir das eigentlich? Wir suchen doch nur eine Sonderlösung. Unser LGS muss eindeutig lösbar sein, damit die klassischen Techniken anwendbar sind.

         2  x      -        z  =  µ              (  3.6a  )

                 y  -       z  =  1                (  3.6b  )

             x      -      z  =  -  µ               (  3.6c  )

                y  -  2  z   =  (  -  9  )          (  3.6d  )

     Wir setzen in ( 3.6b  )

     u  :=  y  -  z  =  1      (  3.7b  )

     Dann hast du in  ( 3.6d )

       u  -  z  =  (  -  9  )  ===>  z  =  10            (  3.7d  )   und in ( 3.6b )  y  =  11    In ( 3.6c )  folgt x =  10  -  µ   und in ( 36a )     µ  =   10/3    und damit x =   20/3