Funktionen von Vektoren mit und ohne Betrag auf Linearität prüfen?

Question

hallo liebes Forum,

ich hätte ein Problem bezüglich dieser beiden Aufgaben.

b) und c) sind in der Form zwar identisch, jedoch ist Gleichung b) ein Betrag.

Nun mein Problem: warum ist b) nicht linear, und c) linear?

Außerdem vielleicht passend zur ersten Frage: kann mir einer den Sinn der Widersprüche erklären?

vielen Dank

Answer 1

b) nicht linear,

Dort ist die Dreiecksungleichung als Begründung aufgeführt. Ein einziges Gegenbeispiel zum Gleichheitszeichen genügt.

Gegenbeispiel:

Alle x_(k) sind 1

und

alle y_(k) sind -1

Dann hast du

links der Ungleichung  |1 + 1 .... + 1| + |(-1) + (-1) + .... + (-1)| = |n| + |(-n)| = n+n = 2n

und

rechts der Ungleichung  |1 + (-1) +  1 + (-1) + 1 + (-1)| = |0|  = 0

und 0 ≠ 2n für alle natürlichen n mit  n > 1.

und c) linear?

Hier kommt die Dreiecksungleichung nicht ins Spiel. Vgl. die abgebildete Rechnung.

EDIT:

Linearität von Funktionen hat nichts mit der linearen Abhängigkeit oder Unabhängigkeit zu tun. Ich habe deine Stichwörter etwas verbessert. Nun hast du bei den "ähnlichen Fragen" andere Fragen, bei denen man Funktionen auf Linearität prüfen musste.