Prüfen der Richtigkeit eines Integrals: F(x) = - (x^2 + 1)^{1/2}/x + c

Question

Es soll die Richtigkeit des Integrals überprüft werden:

\( \int \frac{(1)}{\left(x^{2}\right) *\left(x^{2}+1\right)^{1 / 2}} d x=-\frac{\left(x^{2}+1\right)^{1 / 2}}{x}+" C^{\prime \prime} \)

Wie mache ich das?

Answer 1

Du leitest die Stammfunktion ab und schaust, ob die Funktion unter dem Integral heraus kommt.

F(x) = - (x^2 + 1)^{1/2}/x + c

F'(x) = 1/(x^2·√(x^2 + 1))

Da dieses die Funktion unter dem Integral ist, ist gezeigt das der Ausdruck richtig ist.

Comments

ok , danke einmal vorab mathecoach  .... ich habe nach (f+g)´ = f´+g´ gerechnet und dann f anhand der quotientenregel ...

Ich habe das Problem , das ich der Lösung ws ( wieder einmal ) sehr nahe bin ,
aber ich mit einem Problem konfrontiert bin .

Ich komme auf die Lösung die so aussieht .



und die Lösung wäre ja eben F´ wie oben von dir ( Ihnen ) bereits erwähnt , aber irgendwie bekomme ich den markierten Ausdruck nicht so richtig weg ( ? )

Hab ich vl. falsch gerechnet ?

lg !!!
 

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Also grundsätzlich Ableitung nach Quotientenregel. Du hast einmal in der Klammer x^2-1 stehen. Wie kommst du darauf? Da sollte auch x^2+1 stehen. Dann kannst du die Beiden Wurzeln multiplizieren. Ich mache das mal etwas ausführlicher vor.

F(x) = u(x) / v(x)

u(x) = -(x^2 + 1)^{1/2}
u'(x) = -x·(x^2 + 1)^{- 1/2}

v(x) = x
v'(x) = 1

F'(x) = (u'·v - u·v')/v^2
F'(x) = (-x·(x^2 + 1)^{- 1/2}·x - (-(x^2 + 1)^{1/2})·1)/x^2
F'(x) = (- x^2·(x^2 + 1)^{- 1/2} + (x^2 + 1)^{1/2})/x^2

Nun ziehen wir die Wurzel unter den Bruchstrich

F'(x) = (- x^2 + (x^2 + 1))/(x^2·(x^2 + 1)^{1/2})
F'(x) = 1/(x^2·√(x^2 + 1))

Fertig.

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okay , ich hatte einen Fehler . Deine Rechnung macht eindeutig mehr Sinn . Danke mathecoach !!!