bilden die genannten vektoren eine basis?

Question

Die Vektoren(2,1,1) + [{(1,1,1)}],(2,3,3) + [{(1,1,1)}]bilden eine Basis desR-VektorraumesR3/[{(1,1,1)}].

Wenn prüfen muss ob diese Vektoren eine Basis bilden, prüfe ich zuerst, ob sie linear unabhängig sind. Dazu habe ich das folgende gemacht:

λ₁((2,1,1) + [{(1,1,1)}])+ λ₂((2,3,3) + [{(1,1,1)}])=0

λ₁((2,1,1) + a(1,1,1))+ λ₂((2,3,3) +a (1,1,1))=0

oder muss das so heißen

λ₁((2,1,1) + a(1,1,1))+ λ₂((2,3,3) +b (1,1,1))=0

und reicht es dann, anschließend zu zeigen, dass die Vektoren noch ein Erzeugendensystem bilden?

Answer 1

     Ich bezweifle das.  Du hast einen dreidimensionalen modulo einen eindimensionalen Raum;  bleiben nach Adam riese und Eva Zwerg zwei Dimensionen.  Äquivalenz  bezeichne ich mit dem Symbol  ( =  )    Dann hast du doch

    e1  =  (  2  |  1  |  1  )  (  =  )  (  0  |  -  1  |  -  1  )      (  1a  )

    e2  =  (  2  |  3  |  3  )  (  =  )  (  0  |  1  |  1  )        (  1b  )

    und damit

       e1  +  e2  =  0      (  2  )

    Die beiden Vektoren spannen einen nur eindimensionalen Unterraum auf.