Grenzwert eines Bruchs mit Exponent

Question

Ich soll den Grenzwert folgender Funktion bestimmen:

lim_x->1 (2/x+1)^x/x-1

Zuerst setzt man ja x=1 ein. Dadurch bekomme ich am Ende den Ausdruck: lim ..... = 1^{1/0} heraus.

Ich hatte gehofft, dass da etwas rauskommt, was auf L'Hospital schließen lässt, nur leider ist mir dieser Fall gar nicht bekannt.

Weiß jemand worauf man hierbei achten muss ? Kann man die Funktion irgendwie umformen, dass ich danach die Regel anwenden kann oder geht das doch in eine andere Richtung?

LG

Comments

Hast du Punkt- vor Strichrechnung bei deiner Eingabe berücksichtigt?

lim_(x->1) (2/x+1)^{x/x-1}

ist dasselbe wie

= lim_(x->1) (1+2/x)^{-1 + x/x}

= lim_(x->1) (1+2/x)^{-1 + 1}

= 3^0

= 1

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Wie kommst du genau auf diese umformung?

Ich habe zunächst nur x=1 eingesetzt. Wenn ich nur einsetze steht da ja limx->1 (2/(1+1))^(1/(1-1))

Und das  ergibt 1^{1/0}.

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Hast du Punkt- vor Strichrechnung bei deiner Eingabe berücksichtigt?

Hättest du in der Frage Klammern gesetzt, wäre deine Interpregation besser, aber nicht erlaubt.

Answer 1

Falls die Aufgabe so lautet:

Comments

Wie bist du dafauf gekommen das mit e und ln zu machen? Also wie kann man riechen, dass das zu einer lösung führt?

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Wenn Du folgende Ausdrücke hast , gehst Du zur e- Funktion über.

0^0 ; ∞^0 ;1^∞

Das ist generell so.

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Edit: Aber der Ausdruck ist ja am Ende 1^{1/0}. Von den genannten Ausdrücken, ist dieser nicht mit inbegriffen...

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Doch sicher: \(1^{\frac{1}{0}} = 1^{\infty}\)

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Kannst du mir vielleicht erklären warum das so ist? Ich ging mein ganzes Leben lang davon aus, dass durch Null teilen nicht definiert ist. Ist das bei Grenzwerten anders? Warum ist 1/0 = ∞ ? Oder gibt es bei Wikipedia eventuell einen Artikel, wo ich das nachlesen kann?

MfG

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Na ja - teilen durch 0 ist nicht definiert und was \(\infty\) ist, ist auch nicht so recht definiert (was sagen die Mathematiker dazu?).

Fakt ist jedenfalls, dass ein Ausdruck wie \(1/x\) ziemlich groß wird, wenn das \(x\) ganz klein wird. Strebt das \(x\) gegen 0, so wird \(1/x\) ohne jede Grenze groß. Oder um es formal auszudrücken: $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$$

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Nochmal in anderen Worten.

Sprichst Du von einem "Grenzwert" und schaust Dir die Stelle x = 0 an, dann gilt weiterhin, dass die Stelle x = 0 nicht definiert sein mag, was uns aber gar nicht interessiert. Wir wollen nur wissen, was "ganz nah" bei der 0 los ist. Der Grenzwert bei endlichen Werten heißt also nichts anderes als "Nahe bei".

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$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = \infty$$

Besser:

$$\lim_{x \to 0+} \frac{1}{x} = \infty$$

Bei Grenzwerten der Form 1^∞

kann man allgemein keine Aussage machen,  weil die Basis und der Exponenent gleichzeitig  sich verändern. Die Frage ist dann nur was geht schneller.