LGS -Funktionen lösen

Question

Aufgabe:

Untersuche, ob es eine ganzrationale Funktion 3. Grades gibt, deren Grpah Wendepunkt (2|0) und Maximum bei x=3 hat.

Offensichtlich seh ich nur 3 Bedingungen/Gleichungen für das LGS und nicht 4 wie eigntl nötig. Kann ich den Wendepunkt als Symmetriezentrum ansehen? Bitte um einen Lösungsweg/Ansatz...

Answer 1

f(2) = 0

f'(2) = 0

f''(2) = 0

f'(3) = 0

Answer 2

Hallo

du kannst den Wdpkt als Symmetriezentrum wählen, ja

 oder einfach eine der Konstanten beliebig wählen, aber es muss f''(2)<0 sein, damit Max.

Gruß lul

Comments

könntest du mir die 4 gleichungen fürs lgs sagen?

Sind es: f(2)=0 ; f"(2)=0 ; f'(3)=0 ; f'(1)=0 ?

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Hallo

 ja damit kannst du es machen, aber eben auch noch f'(3)<0 oder f'(1)>0

Gruß lul

Answer 3

Hallo benisss,

Es sind nur drei Bedingungen: $$\begin{aligned} f(2) &= 0 \\ f''(2)&=0 \\ f'(3)&=0 \end{aligned}$$ mit dem Zusatz, dass \(f''(3)\lt 0 \), damit aus dem Extremwert auch ein Maximum wird. Ein Ansatz könnte lauten:

$$\begin{aligned} f(x)&= a\cdot \left( x^3 + bx^2 + cx + d\right) \\ f'(x) &= a \cdot \left( 3x^2 + 2bx + c\right) \\ f''(x) &= a \cdot \left( 6x + 2b\right)\end{aligned}$$

Da alle Bedingungen mit =0 enden, reicht ein Faktor \(a\), den Du offen lassen kannst. Aus \(f''(2)=0\) folgt dann bereits, dass \(b=-6\) sein muss. Aus \(f'(3)=0\) folgt danach \(c=9\) und aus \(f(2)=0\) dann \(d=-2\).

$$f(x)=a \cdot \left( x^3 -6x^2 +9x -2\right)$$ mit dem Zusatz, dass \(f''(3)\lt 0\) sein soll folgt, die Bedingung, dass \(a<0\) sein muss. Hier der Plot für \(a=-1\), \(a=-\frac12\) und \(a=-2\):

~plot~ -(x^3-6x^2+9x-2);x=3;{2|0};-(x^3-6x^2+9x-2)/2;-2(x^3-6x^2+9x-2) ~plot~

Comments

Erstmal danke. Aber ich kenne nur die Form f(x)=ax^3+bx^2+cx+d. Wie geht das damit?

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Aber ich kenne nur die Form f(x)=ax3+bx2+cx+d. Wie geht das damit?

das ist das gleiche! Klammere einfach aus:

$$f(x)= a\cdot \left( x^3 + bx^2 + cx + d\right) = ax^3 + abx^2 + acx + ad$$ Du kannst es auch mit der Form \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) direkt versuchen und dann z.B. das \(d=1\) setzen. Der Trick ist letztlich, dass Du eine Form brauchst, in der drei Unbekannte vorkommen.

Alternativ kannst Du auch ein unterbestimmtest LGS mit Hilfe des Gauß-Verfahren lösen. Hattet Ihr das schon?

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ich habe Dir oben in der Antwort noch mal zwei Funktionen mit \(a=-0,5\) und \(a=-2\) hinzu gefügt. Alle Graphen erfüllen die geforderten Bedingungen.

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Darf ich auch einfach den Wendepunkt als Symmetriezentrum sehen und damit den Tiefpunkt bei x=1 als zstzl. Bed. nehmen (f'(1)=0)?

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Darf ich auch einfach den Wendepunkt als Symmetriezentrum sehen?

Ja klar - liegt der Wendepunkt bei einem kubischen Polynom bei \((x_w;y_w)\), so lautet die Funktion

$$f(x) = a(x-x_w)^3 + b(x-x_w) + y_w$$ da \(y_w=0\) bereits gegeben ist, reduziert sich das auf zwei Parameter - wobei Du aber nur noch die Bedingung \(f'(3)=0\) nutzen kannst (nein - nicht \(f'(1)=0\)!). Die Ableitung ist dann:

$$f'(x) = 3a(x-x_w)^2 + b$$

mit \(f'(3)=0\) erhält man dann

$$f'(3) = 3a(3-2)^2 + b= 0 \quad \Rightarrow b = -3a$$ folglich lautet die Funktion

$$f(x) = a(x-2)^3 -3a(x-2) = a(x^3 -6x^2 + 9x - 2)$$ .. und die ist natürlich die gleiche wie oben.

Gruß Werner

Answer 4

   Immerhin ist zu beachten, das jedes kubistische Polynom  Punkt symmetrisch gegen seinen WP verläuft; damit hast du zusätzlich ein Minimum bei x = 1 .  Was uns offensochtlich fehlt, ist der Maßstabsfaktor.