Aussagen zu G= (X,°) eine Gruppe beweisen

Question

kann mir wer helfen ??

Ich muss diese Aufgabe lösen, stehe jedoch auf dem Schlauch....

Sei G = (X,°) eine Gruppe. Beweisen Sie die Aussagen

1.) G ist abelsch genau dann, wenn (x ∘y)∘(x∘y)=(x∘x)∘(y ∘y)  ∀x, y ∈ X

2.) Ist jedes Element x ∈ X zu sich selbst invers, so ist G abelsch.

Ich Verstehe absolut nicht wie ich die Aufgabe lösen. Und was genau heißt invers nochmal?

Danke schon mal an eure Hilfe :)

Answer 1

Sei G = (X,°) eine Gruppe. Beweisen Sie die Aussagen

1.) G ist abelsch genau dann, wenn (x ∘y)∘(x∘y)=(x∘x)∘(y ∘y)  ∀x, y ∈ X

G abelsch heißt: Für alle x, y ∈ G gilt x°y = y° x, also

 (x ∘y)∘(x∘y)=  wegen assoziativ

 x ∘(y∘x)∘y=

 x ∘(x∘y)∘y=

=(x∘x)∘(y ∘y)

umgekehrt: ist zu zeigen   x°y = y°x

es gilt  (x ∘y)∘(x∘y)=(x∘x)∘(y ∘y) | °y^{-1} von rechts

            (x ∘y)∘x=(x∘x)∘y     | ° x^{-1} von links

                  y°x = x°y            q.e.d

Comments

Ist jedes Element x ∈ X zu sich selbst invers, so ist G abelsch.

Seien x,y aus G, dann gilt in jeder Gruppe:

                     ( x°y)^{-1} = y^{-1} ° x^{-1}

                             x ° y  = y ° x   (da jeder zu sich invers)     q.e.d.