Das Ganze ist erst mal ein LGS und kein Polynom - es sei denn, du lieferst eine Steckbriefaufgabe nach. Sei A die Koeffizientenmatrix deines LGS; dann gilt ganz typisch
allgemeine Lösung des LGS = Sonderlösung + Kern ( A ) ( 1 )
Ich mache erst mal den Ansatz, dass dim Kern ( A ) = 2 . wir bewegen uns in die richtige Richtung, wenn ess mir gelingt, einen Kernvektor mit x = 0 und hernach einen mit y = 0 zu finden. Schreiben wir also das homogene LGS an für den Sonderfall x = 0 .
y - 2 z + 4 w = 0 | : w ( 2a )
2 y - 3 z + w = 0 | : w ( 2b )
3 y - 4 z - 2 w = 0 | : w ( 2c )
In ( 2a-c ) führe ich meinen Divisionstrick vor; er verringert die Anzahl der Unbekannten auf zwei. Und zwei Unbekannte gelten als beherrschbar. Da rechts null steht, bleibt auch bei der Division der lineare Charakter des LGS gewahrt. Wir setzen noch
Y := y / w ; Z := z / w ( 3 )
Die Nummerierung ( a-c ) behalte ich konsequent bei, damit du weißt, von welcher Gleichung jeweils die Rede ist.
Y - 2 Z = ( - 4 ) | * 2 ( 4a )
2 Y - 3 Z = ( - 1 ) ( 4b )
3 Y - 4 Z = 2 ( 4c )
Die Umformung in ( 4a ) habe ich wie üblich vermerkt; das Subtraktionsverfahren ( 4b ) - ( 4a ) führt auf Z = 7 ; dies eingesetzt gibt überein stimmend in ( 4a-c ) auf Y = 10 . somit erhalten wir unseren ersten Kernvektor
v1 = ( 0 | 10 | 7 | 1 ) ( 5a )
so wie aus der Symmetrie deines LGS
v2 = ( 10 | 0 | 7 | 1 ) ( 5b )
Einen dritten Kernvektor erwarten wir nicht; es gilt ja
Rang ( A ) + dim Kern ( A ) = n = 4 ( 6 )
Dann wäre ja Rang = 1 , und das sieht nun doch zu unwahrscheinlich aus. Richtig ist, dass wir, wie in ( 1 ) schon gesagt, von deinem LGS nicht mehr der allgemeinen, sondern nur noch einer Sonderlösung bedürfen. Dein Vorschlag: y = w = 0.
y - 2 z = 5 ( 7a )
2 y - 3 z = 3 ( 7b )
3 y - 4 z = 1 ( 7c )
( 7a.c ) hat doch die identische KM wie ( 4a-c ) ; auch oben war es uns gelungen, den Einfluss von x und w zu eliminieren. Mit dem identischen Subtraktionsverfahren wirst du geführt auf z = ( - 7 ) ; dies eingesetzt in ( 7a-c ) führt auf y = ( - 9 )
