Nullstellen und extrempunkte von f

Question

Wie berechne ich alle nullstellen und extrempunkte dieser Funktion:

f(x)=8x^4+6x^3-10x^2-7

Danke für hilfreiche Antworten

Answer 1

zeichen Dir die Funktion zunächst grob auf, oder (besser) gebe sie in den Plotlux-Plotter ein:

~plot~ 8x^4+6x^3-10x^2-7;[[-5|+5|-20|+40]];{1.086|0} ~plot~

dann sieht man schon, dass dort zwei Nullstellen sind, die aber keine ganzen Zahlen sind. Am einfachsten ist es jetzt mit dem Newtonverfahren an die Sache ran zu gehen. Mit den Startpunkten \(2\) und \(-2\) erhalte ich zwei Lösungen

$$x_1 \approx 1,0855358006; \quad x_2 \approx -1,6792008963$$

dividiere ich die Ausgangsgleichung nun durch das Polynom mit diesen beiden Nullstellen so erhält man:

$$(8x^4+6x^3-10x^2-7) \div \big((x- 1,0855)(x+1,6792)\big) \\ \quad \approx  8x^2 + 1,2504x + 3,8398$$ Ansetzen der pq-Formel gibt

$$x_{3,4} = - \frac{1,2504}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{1,2504}{2}\right)^2 - 3,8398 }$$ hier ist der Ausdruck unter der Wurzel <0, es bleibt also im Reellen bei den oben angegebenen Nullstellen.

Gruß Werner

Comments

... und die Extrempunkte habe ich gestern Nacht ganz vergessen - dies ist aber einfacher. Leite ab

$$f'(x)=8 \cdot 4 x^3 + 6 \cdot 3x^2 - 10 \cdot 2x =(32x^2 + 18x - 20)x$$

Damit erhält man den ersten Extrempunkt bei \(x_{E1}=0\). Die zweite Ableitung

$$f''(x) = 96x^2 + 36 x - 20$$

ist an dieser Stelle \(f''(0)=-20\) negativ, folglich liegt hier ein Hochpunkt (lokales Maximum). Mit

$$32x_E^2 + 18x_E - 20 = 0$$

findet man mit Hilfe der Mitternachtsformel

$$x_{E2,3} = \frac{-18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-20)}}{2 \cdot 32} = -\frac{9}{32} \pm \frac{\sqrt{721}}{32}$$ die verbleibenden Etrempunkte. Einsetzen in \(f''(x)\) zeigt, dass es sich um Tiefpunkte (lokale Minima) handelt.

Answer 2

Hallo

ich glaube kaum, dass du die Nullstellen davon finden kannst außer numerisch, oder mit GTR.  Aber nach dem differenzieren kannst du x ausklammern hast also erstmal x=0 als Extremwert und dann eine einfache quadratische Gleichung für die 2 anderen Extrema.

Gruß lul

Answer 3

zur Nullstelle:

Du schreibst leider nicht, welche Klassenstufe oder welchen Wissensstand der Mathematik vorliegt!?

a) Normale Schulklassen behandeln nur leichte Sonderlösungen, die man leicht erraten kann.

Danach Polynomdivision.

Funktioniert in Deinem Fall NICHT -> falsch abgeschrieben oder ausgedacht?

b) Lese Wikipedia Bisektion. Man kann sich durch Probieren und Bereichshalbierung beliebig genau herantasten.

c) Newton-Verfahren (auch unter Wiki): auch numerisch wie b, jedoch weniger Schritte bei gleicher Genauigkeit

d) Telschritt & Cardanische Formeln (Vorstufe der exakten Formel, jedoch noch mit Fallunterscheidung

e) exakte explizite Lösungsformel: PQRSTUVW (analog zur pq-Formel nur einsetzen) -> jedoch mit komplexen Zwischenergebnissen. Komplett ausgeschrieben sind diese Formeln pro x (denn ein Polynom vom Grad 4 hat immer 4 Lösungen; manche komplex) über 330 Zeichen lang:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

rechnet d) und e) online vor:

Interessant: wenn man mehr als 10000 Nachkommastellen berechnen will, wird c) schneller als die exakte lange explizite Formel von e), da Wurzeln auch iterativ berechnet werden müssen!

GTR rechnen nur wenige Nachkommastellen (meist weniger als 11) per b) und/oder c).