Für welche reellen Zahlen x konvergieren die Reihen: ∑∞ n=1 nx^n und…

Question

Ich weiß nicht wie ich zeigen soll, für welche reellen Zahlen x, diese zwei Reihen konvergieren.

Die genaue Aufgabenstellung lautet:

Untersuchen Sie (unter Benutzung des Quotientenkriteriums), für welche reellen Zahlen x die Reihen

∑∞ n=1 nxⁿ und ∑∞ n=1 (1/n)*xⁿ

konvergieren.

 

Könnte echt Hilfe gebrauchen :(

 

Answer 1

Die erste Reihe funktioniert ganz analog zur zweiten.

 

Man muss hier zwar beachten, dass die Quotientenfolge von oben gegen x konvergiert, aber das ändert nichts daran, dass für jede reelle Zahl -1<x<1 eine obere Quasi-Schranke gefunden werden kann, die nur von endlich vielen Folgengliedern überschritten wird.

Es bietet sich zum Beispiel x+(1-x)/2 an.

 

Zu untersuchen sind wiederum die Ränder:

x=1: ∑ n → ∞

x=-1: ∑ (-1)ⁿ n

Diese Reihe beginnt folgendermaßen:

-1, 1, -2, 2, -3, 3, ...

Also ist sie nicht konvergent.

Answer 2

Ein Teil der Aufgabe (∑∞ n=1 (1/n)*xⁿ) wurde inzwischen mit dem Quotientenkriterium gelöst:

https://www.mathelounge.de/5607/welche-reellen-zahlen-konvergiert-reihe-quotientenkriterium