Konvergieren die folgenden beiden Reihen?

Question

a) Konvergiert die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n!}{n^n}} \)?

b) Konvergiert die Reihe \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n+4}{n^2-3n+7}} \)?

Ansatz:

a) Bin mir hier unsicher aber habe 1 raus. Ist das richtig? Und damit könnte man keine Aussage über Konvergenz treffen oder?

b) Hier weiß ich nicht wie das geht.

Answer 1

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n!}{n^n}} \) hier bekomme ich mit dem Quot.ktriterium

\(\frac{ a_{n+1}}{a_n}  =    \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n} }\)

\(   =  {\frac{(n+1)!{n^n} }{(n+1)^{n+1}n!}}  =   {\frac{(n+1){n^n} }{(n+1)^{n+1}}}  =  {\frac{{n^n} }{(n+1)^{n}}} =  { (1- \frac{{1} }{n+1}} )^n  \)

Und das hat für n gegen unendlich den Grenzwert \( \frac{1}{e} \lt 1 \) also konvergent.

Bei dem 2. ist doch die harmonische Reihe eine divergente Minorante.

Answer 2

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{n+4}{n^2-3n+7}} \)

\(n=1\)

\({\frac{1+4}{1^2-3*1+7}} ={\frac{5}{5}}=1 \)

\(n=2\)
\({\frac{2+4}{2^2-3*2+7}} ={\frac{6}{5}}=1,2 \)

\(n=3\)
\({\frac{3+4}{3^2-3*3+7}} ={\frac{7}{7}}=1 \)

\(n=4\)
\({\frac{4+4}{4^2-3*4+7}} ={\frac{8}{11 }}≈0,73 \)

.......................

\(n=100\)

\({\frac{100+4}{100^2-3*100+7}} ={\frac{104}{11 }}≈0,011 \)

Tendenz wird immer kleiner.

\( {\frac{n+4}{n^2-3n+7}}={\frac{\frac{n}{n^2}+\frac{4}{n^2}}{1-\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}}}={\frac{\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}{1-\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}}} \)

\( \lim\limits_{n\to\infty}{\frac{\frac{1}{n}+\frac{4}{n^2}}{1-\frac{3}{n}+\frac{7}{n^2}}}=0 \) 

Comments

Welche Frage ist damit beantwortet?

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Das ist die b)

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Ist die Reihe b) nun konvergent oder nicht? Darüber machst du keine Aussage.

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Ja, sie ist konvergent, weil 0<1.

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In der Tat bilden die Summanden der Reihe eine Nullfolge. Das ist aber nur eine notwendige und keine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe.
Die Reihe b) divergiert nach dem Minorantenkriterium, denn für alle \(n\in\mathbb N\) gilt \(\dfrac{n+4}{n^2-3n+7}\ge\dfrac1n\), und die harmonische Reihe divergiert bekanntlich.

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Achsoo okay, aber wie zeige ich jetzt, dass die Reihe divergiert, weil ich kann ja jetzt nicht einfach diese Ungleichung aufschreiben. Das Minorantenkriterium kenne ich meines Wissens nach noch nicht aus der Vorlesung.

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Wenn die Divergenz der harmonischen Reihe bekannt ist, dann genügt der Nachweis, dass obige Ungleichung gilt, denn die Folge der Partialsummen \(\displaystyle\sum_{n=1}^N\frac{n+4}{n^2-3n+7}\) ist dann offenbar nicht beschränkt und damit nicht konvergent.