Zeigen Sie, dass || · || für p ∈{1, ∞} eine Norm auf C([a, b]) definiert.

Question

Sei a < b. Die Abbildungen || · ||, || · ||_∞ : C([a, b]) →ℝ seien gegeben als
i) || f || := ∫^b_{a |f(x)|dx}    ii) || f ||∞ := max_a≤x≤b |f(x)|    iii) f ∈ C([a, b]).

Zeigen Sie, dass || · || für p ∈{1, ∞} eine Norm auf C([a, b]) definiert, d.h. dass gilt

a) Für alle f ∈ C([a, b]) ist || f ||_p ≥ 0 und || f(x)|| = 0 genau für f ≡ 0;
b) Für alle α ∈R und alle f ∈ C([a, b]) ist || αf ||_p = |α| || f ||_p

c) Für alle f, g ∈ C([a, b]) ist || f + g ||_p ≤ || f ||_p + || g ||_p

_{Über eine Lösung zum verstehen würde ich mich freuen, danke im Voraus!}