Kombiantorik und Abzählbare Probleme

Question

Aufgabe 24.
[6 Punkte] In einer vierzehnköpfigen Kommission kommt es zu einer
Abstimmung (mit dem Votum ?ja? oder?nein?; keine Enthaltung). Auf wieviele Arten kann sich eine Mehrheit (mindestens acht Personen) zusammensetzen?
Hinweis:
Die Gleichung (n über 0)+(n über 1)+...+(n über n) kann hilfreich sein.


Meine Ideen:
Meine Idee wäre nun n=14 zu setzen und die Gleichung für k=8;..;14 Erfolge aufzustellen und zu berechnen

Ist das richtig oder wie muss ich nun vorgehen?

Answer 1

Aufgabe 24: In einer vierzehnköpfigen Kommission kommt es zu einer Abstimmung (mit dem Votum ?ja? oder?nein?; keine Enthaltung). Auf wieviele Arten kann sich eine Mehrheit (mindestens acht Personen) zusammensetzen?

Dein Ansatz ist richtig

∑ (k = 8 bis 14) ((14 über k)) = 6476

Comments

Richtig, weil man mind. 8 Stimmen braucht, also gehen auch 9 oder mehr.

(14 über 8)+(14 über 9)+(14 über 10)+(14 über 11)+(14 über 12)+(14 über 13)+(14 über 14)

=∑ (k=8 bis 14)((14 über k))

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Dein Ansatz ist richtig

aber mit Berücksichtigung des Tipps geht es einfacher :  ( 2^{14} - (14 über 7) ) / 2  =  6476

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ist das dann schon die lösung, wenn ich alle binomialkoeffizienten miteinander addiere?

oder muss noch etwas gemacht werden?

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Hallo ant,

(14 über 8)+(14 über 9)+(14 über 10)+(14 über 11)+(14 über 12)+(14 über 13)+(14 über 14)=6476

Danach bist du fertig, aber scheue dich nicht vor den Summenzeichen, das spart Schreibarbeit.

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@Gast hj2166

Danke. Ich war zunächst etwas irritiert und hatte zu spät bemerkt, das man ja prima die Symmetrie und die Summe über alle Binomialkoeffizienten benutzen kann. Weiter war ich irritiert weil der Hinweis ja gar keine Gleichung wie angegeben war.

Der Fragesteller sollte das aber gerne nochmal nachvollziehen, warum das so einfacher berechnet werden kann.