Modellierung von Funktionen

Question

Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion f mit den angegebenen Eigenschaften.

Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt (-2/-6)

Ich bitte nur um einen Tipp, ich komme bei meiner Rechnung nicht weiter. Ich würde versuchen wollen die Aufgabe selber zu lösen.

Mein Ansatz:

Bedingungen:

f(x)= ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

f'(x)= 4*a*x^3+3*b*x^2+2*c*x+d

(f''(x)= 12*ax^2+6bx+2c)

I. f'(0)=0 , weil am Sattelpunkt die Steigung =0 ist.

II. f''(0)=0 Grund:?

III. f(-2)=-6, der Tiefpunkt ist ein Punkt des Graphen f(x)

IV. f'(-2)=0 die Steigung am lokalen Minimum ist =0

Bräuchte ich aber bei dieser Aufgabe nicht 5 Bedingungen, wegen 5 Unbekannte in f(x)?

I. d=0

II. 2c=0

c=0

III. 16a-8b+e=-6

IV.-32a+12b=0

vielleicht noch f(0)=0 als Bedingung für den Sattelpunkt?

Wäre über jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Hi, deine Ideen sind soweit schon ganz ok.

Eine kurze Erklärung zu den Stichwörtern:

f'(0) = 0 // Steigung ist beim Sattelpunkt 0

f''(0) = 0 // Bedingung für einen Sattelpunkt
f(0) = 0 // Für den Ursprung (0/0)

f(-2)=-6 // Funktionswert, da wir wissen, dass bei (-2/-6) der TP ist

f'(-2)=0 // Ableitung, Steigung am TP ist 0

Ansatz: 4 Gerads n=4

f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

Daraus lässt sich ein LGS konstruieren:

d = 0
2c = 0
e = 0
-32a + 12b - 4c + d = 0
16a - 8b + 4c - 2d + e = -6

Deine Gleichung lautet dann:

f(x) = 1.125x⁴ + 3x³

Sieht dann so aus:

~plot~ 1.125x^4 + 3x^3 ~plot~

Comments

Schön erklärt. 

Answer 2

Grad 4, Sattelpunkt im Ursprung, Tiefpunkt (-2/-6)

Kurznotation
f ( 0 ) = 0 | Koordinaten
f ´ ( 0 ) = 0  | keine Steigung
f ´ ( 0 ) = 0  | keine Krümmung
f ( -2 ) = -6 | Koordinaten
f ´ ( - 2 ) = 0 | keine Steigung

Jetzt erfolgt das Einsetzen obiger Werte
in die Funktion, 1.Ableitung, 2.Ableitung

Willst du das durchführen ?

Comments

f(x)=9/8x^4+3x^3 ? & müsste es nicht f '' ( 0 ) = 0  | keine Krümmung lauten?

---

f(x) = 1,125·x^4 + 3·x^3
f '' ( 0 ) = 0  | keine Krümmung lauten?
Stimmt.

Zur Überprüfung kannst du nutzen

Du  gehst nach
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm
und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "
f ( 0 ) = 0
f ' ( 0 ) = 0
f '' ( 0 ) = 0
f ( -2 ) = -6
f ' ( - 2 ) = 0
ein ( Die 5 obigen Zeilen kopieren und dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "

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Hi Georg, wo du gerade hier online bist, einmal kurz eine Zwischenfrage von mir.

Du nutzt doch sonst immer eine Software und zeigst die Plots und Rechnungen auch hier, die Frage, wie heißt die Software, die du nutzt. Besten Dank!

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mein Matheprogramm heißt
Mupad pro 4
Meine Version ist deutschsprachig

Wenn du bei Google
mupad matheprogramm
eingibst wird dir u.a.
mupad matheprogramm kostenlos
angezeigt.

Ich habe mein Programm vor ca 15 Jahren
einmal gekauft.
Wie es heute ausschaut weiß ich nicht.

Ansonsten gibt es hier im Forum
oben rechts unter " weitere "
Wolfram Alpha

Answer 3

Bräuchte ich aber bei dieser Aufgabe nicht 5 Bedingungen, wegen 5 Unbekannte in f(x)?

"Sattelpunkt im Ursprung"
$$ \Rightarrow f(0)=f'(0)=f''(0)=0 \\ \Rightarrow e=d=c=0$$das vereinfacht den Ansatz zu
$$f(x)=ax^4+bx^2$$