Berechnung einer Hessematrix

Question

Ana2 Blatt04.pdf (0,2 MB) Auf diesem Blatt die Aufgabe 5 (weiß leider nicht, wie ichs sonst verständlich machen soll.)

b_{ij} sei eine Bilinarform von R^n x R^n -> R mit

b(x,y) = Sum {b_ij * x_i *y_j}= x^T(transponiert)*B*y. B ist hierbei die entsprechende R^nxn Matrix.

Ich soll nun zeigen, dass q: R^n -> R, q(x) = b(x,x) zwei mal stetig differenzierbar ist und für beliebiges x_0 aus R^n die Hessematrix H_q(x_0) angeben.

Nun zu meiner Frage: In der Hessematrix stehen ja die partiellen Ableitungen 2 Ordnung. Für q hab ich ja aber eigentlich nur eine Variable, nämlich x. Muss ich diese x als zwei verschiedene behandeln, quasi x1 und x2 ?

Und wenn ich nach x ableiten würde, würde das ja auch keinen Sinn machen, ich müsste doch vielmehr nach einer Komponente von dem Vektor x ableiten, zb. x_k, wobei k irgendwo zwischen 1 und n liegt.

Dann wäre die Ableitung von der Summe ja (nach x_k):

Sum{b_kj*x_j} + Sum{b_ik * x_i} Oder? Davon wäre die 2 Ableitung ja aber 0, so wie nach jeder anderen Komponente auch. Dann wäre meine Hessematrix ja einfach die Nullmatrix.

Danke für jedwede Hilfe, ich glaube nämlich, dass ich komplett auf dem Holzweg bin :D

Comments

Wie waere es, wenn Du für n = 2 mal alles ausschreibst?

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Hab ich. Dann hat man b_11x_1y_1 + b_12x_1y_2+ b_21x_2y_1 + b_22x_2y_2 Und die Ableitung nach x_1 zb wäre :

b_11*y_1 + b_12*y_2

Ist der Ansatz richtig ?

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Man erkennt in diesem Geschribsel recht wenig. Soll nicht \(q(x)=b(x,x)\) untersucht werden? Vielleicht schreibst Du mal \(q\) hin. Das soll ja abgeleitet werden.

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Ok ich probiers mal mit den richtigen Symbolen, sorry.

für n=2

q(x,x) = b₁₁*x₁²  +b₁₂  *x₁*x₂ + b₂₁*x₂*x₁ +b₂₂*x₂²

Dann wäre nach x₁ abgeleitet:

2b₁₁x₁+b₁₂x₂+b₂₁x₂

 

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Wenn ich es allgemein mach, krieg ich raus, dass wenn man zweimal nach der selben Variable ableitet, also auf der diagonalen der Hessmatrix ist, da 2*b_kk  steht. Und wenn man erst nach zb k und dann nach l ableitet, stünde da in der Matrix b_kl + b_lk . Sieht denn die Matrix dann allgemein so aus ?

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Sollte so hinkommen. Mein Tipp ist \(H_q=B+B^\top\).

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Okay danke.  Und kann ich sagen, dass die Ableitungen stetig sind, weil sie ja quasi einfach nur ein Polynom und eine Konstante darstellen ? Oder ist das nicht korrekt?

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Polynome haben viele schoene Eigenschaften. Wenn Du Zweifel hast, solltest Du Dir gute Argumente dafuer zurechtlegen, dass jedes Polynom in \(C^\infty\) liegt.

Answer 1

  Zugegeben - man lässt sich da leicht verwirren.

   " Unn da stellermer ons janz domm; unne sagemer so: n = 1 "

   Im Falle  n = 1  wäre doch

     q  (  x  )  =  b  x  ²       (  1a  )

    grad  (  q  )  =  ( d/dx )  q  =  2  b  x    (  1b  )

   Hessematrix  (  q  )  =  ( d/dx )  ²  q  =  2  b      (  1c  )

      Bereits in ( 1b ) hast du diesen Faktor 2 .  Und jetzt betrachten wir den allgemeinen Fall;   gerade für deine Zwecke erweist sich die ===>   Einsteinsche Indexkonvention als bestens geeignet.

   q  (  x  )  =  b_ij  x_i  x_j         (  2  )

    Wir bilden die Ableitung  d_k d_m  Bitte beachte die Produktregel; zunächst gilt es, den linken Term abzuleiten.

    Linker Term   d_k  q  =  b_ij  DELTA  (  i  ;  k  )  x_j  =   (  3a  )

    =  b_jk  x_j      (  3b  )

    Mit  DELTA = Kronecker Delta .  Wegen der Symmetrie der b_ij  Matrix leistet aber der rechte Faktor der Produktregel den iNdentischen Beitrag, so dass summa summarum

    grad  (  q  )  =  2  b_jk  x_j          (  3c  )

    Die Hessematrix wird jetzt trivial:

    d_m  (  b_jk  x_j  )  =  b_jk  DELTA  (  j  ;  m  )  =  b_km  (  4  )

Comments

  d_k d_m  q  =  2  b_km     (  2.1  )