WIe lautet die Stammfunktion von dieser Funktion :) ?

Question

Ich komme einfach nicht auf die Stammfunktion von f(x)=  ₀∫^unendlich 1/(x² − 2x + 7)dx (grenzen sind unendlich und 0)

Ich weiss, dass man mit lim rechnen muss und unendlich mit t ersetzen aber ich bin mir nicht sicher wieso?

Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen(bitte mit Erklärung) und das ist keine Hausaufgabe ich bereite mich auf eine Prüfung vor.

Danke euch voraus

Answer 1

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Comments

2.Teil:

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Answer 2

es ist

$$\frac{1}{x^2-2x+7}=\frac{1}{(x-1)^2+6}=\frac{1}{6}\frac{1}{(x-1)^2/6+1}=\frac{1}{6}\frac{1}{((x-1)/\sqrt{6})^2+1}$$

Nun erinnere dich an das Standardintegral,

$$ \int\frac{1}{x^2+1}dx=arctan(x)+C$$

und übertrage auf die Aufgabe.

Answer 3

Ich glaube, dass du substituieren musst.$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2-2x+7}$$ Wende die Binomische Formel an, um den Ausdruck zu vereinfachen:$$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(x-1)^2+6}$$ Substituiere \(y=\frac{x-1}{\sqrt{6}}\). Finde die die Ableitung davon, diese ist \(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\) Du hast nun also:$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sqrt{6}}{6y^2+6}dy$$ Dann musst du den Audruck vereinfachen:$$\frac{1}{\sqrt{6}}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{y^2+1}$$ Es ist bekannt, dass \(\frac{1}{y^2+1}\) gleich \(arctan(y)\) ist. Jetzt musst du Rücksubstituieren:$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot arctan\left(\frac{x-1}{\sqrt{6}}\right)+C$$

Comments

Es ist bekannt, dass\( \frac{1}{y^2 +1} \) gleich \(arctan(y)\) ist.

$$ \arctan(y) ≠ \frac{1}{y^2 +1} $$

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Oh, da ist mir was mit dem Latex schiefgegangen:$$\frac{x-1}{\sqrt{6}}=arctan(y)$$