Bezeichne die Einträge der Matrix \(A\) mit \(a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}\), so dass \[A= \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}\] ist. Dann ist \[A^{T} = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22}\end{bmatrix}\text{.}\]
Multiplikation mit den kanonischen Eiheitsvektoren \(e_1\) bzw. \(e_2\) liefert die erste bzw. zweite Spalte.
\[A^T e_1 = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{11} \\ a_{12} \end{bmatrix}\stackrel{!}{=}\begin{bmatrix}-4 \\ 2 \end{bmatrix}\]
\[A^T e_2 = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{21} \\ a_{22} \end{bmatrix}\stackrel{!}{=}\begin{bmatrix}7 \\ 6 \end{bmatrix}\]
Damit ist dann \[A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-4 & 2 \\ 7 & 6\end{bmatrix}\]
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Man kann beispielsweise \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{bmatrix}7 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}21 \\ 12 \\ 13 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}4\cdot 13 - 3\cdot 12 \\ 3\cdot 21 - 7\cdot 13 \\ 7\cdot 12 - 4\cdot 21 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}16 \\ -28 \\ 0\end{bmatrix}\) verwenden.
Ansonsten:
Die beiden Vektoren \[\vec{a} = \begin{bmatrix}7 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{bmatrix}21 \\ 12 \\ 13 \end{bmatrix}\] spannen einen zweidimensionalen Untervektorraum \(U\subseteq\mathbb{R}^3\) (also eine Ebene) auf. Als \(\vec{c}\) kann man einen beliebigen Vektor in \(\mathbb{R}^3\setminus U\) wählen.
