Question

Gegeben sind folgende empirische Messungen: $$\begin{array}{c|cccc} x_i& 11 & 12,7 & 14,2 &  16,8 \\ z_i & 13,1&14,16 & 13,97& 15,3\end{array}$$ Grafisch liegen diese Punkte folgendermaßen im Koordinatensystem

~plot~ {11|13.1};{12.7|14.16};{14.2|13.97};{16.8|15.3};[[-1|20|-1|20]] ~plot~
Die Beobachtungen liegen ungefähr auf einer linearen Funktion \(z = a_0 + a_1 \cdot x\) und sind mit leichten Fehlern behaftet. Ermitteln Sie die Parameter dieser linearen Funktion durch Verwendung der Normalengleichung.
Wie lautet die Steigung \(a_1\).

Answer 1

Hallo Maxi,

Stelle zunächst aus den x-Werten die Matrix \(A\) und aus den z-Werten den Vektor \(z\) auf.

$$A=\begin{pmatrix}1& 11\\ 1& 12,7\\ 1& 14,2\\ 1& 16,8\end{pmatrix}$$ $$z = \begin{pmatrix}13,1\\ 14,16\\ 13,97\\ 15,3\end{pmatrix}$$ Die Normalengleichungen lauten

$$A^T \cdot A \cdot \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} = A^T \cdot z$$ bzw. in Zahlen

$$\begin{pmatrix}4& 54,7\\ 54,7& 766,17\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}56,53\\ 779,346\end{pmatrix}$$ mit der Lösung

$$\begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}9,386470588\\ 0,347058824\end{pmatrix}$$ Die Steigung \(a_1\) ist also \(a_1\approx 0,3471\). Grafisch sieht es so aus: ~plot~ {11|13.1};{12.7|14.16};{14.2|13.97};{16.8|15.3};[[-1|20|-1|20]];9.386+0.3471x ~plot~

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort

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Wie kommt man auf 766,17 und 799,346?

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Wie kommt man auf 766,17 und 799,346?

das sind Elemente der Matrix, die nach den Matrizenmultiplikation \(A^T\cdot A\) und \(A^T\cdot z\) errechnet werden. Im Detail ist$$766,17 = \sum\limits_{i=1}^4x_i^2, \quad 799,346 = \sum\limits_{i=1}^4 x_iz_i$$

Answer 2

Siehe

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate