Untersuchen, ob angegebene Funktion zu einer stetigen Funktion fortgesetzt werden kann

Question

Untersuchen Sie, ob die angegebene Funktion f : R² \ {(0, 0)T } → R zu einer auf ganz R² stetigen Funktion fortgesetzt werden kann und geben Sie gegebenenfalls den zugehörigen Funktionswert im Punkt (0,0)T an:

A) f(x,y)= (x²+y²) / |x| + |y|

B)f(x,y)= x²y² /( x² + y²⁾

C) f(x,y)= (x+y) / √(x²+y²)

Answer 1

A) f(x,y)= (x^2+y^2) /   ( |x| + |y|)
  klappt mit f(0,0)=0
B)f(x,y)= x^2y^2 /( x^2 + y^2)  dito

C) f(x,y)= (x+y) / √(x2+y2)

betrachte hier etwa die Folge (1/n  ; 1/n ) die gegen (0;0) geht,

Da ist f (1/n  ; 1/n ) = 2/n  /  √(2/n^2) = √2, also die Folge der

Funktionswerte konstant, also auch Grenzwert √2

Hingegen f( 1/n ; 0 ) = geht für n gegen unendlich gegen 1,

aber ( 1/n ; 0 )  geht auch gegen (0;0).

Also haben nicht alle Folgen, die gegen (0;0) gehen

den gleichen Grenzwert, also keine stetige Fortsetzung möglich.