Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes kann mit der Funktion fa(t)= 10t^{2}e^{-0,1t-a} modelliert werden

Question

Aufgabe:

Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Baumes kann während einer Messung mit der Funktion fa(t)= 10t^{2}e^{-0,1t-a} , t=>0 (t in Jahren, fa(t) in cm pro Jahr) modelliert werden.

a) Wie kann der Zeitpunkt bestimmt werden, an den der Baum am stärksten wächst?

b)Können sie den Wert für a ermitteln, wenn sie wissen, dass der Baum zeitweise eine Wachstumsgeschwindigkeit von 0,3 Meter pro Jahr hat?

c) Ein 10m hoher Baum soll gefällt werden, wie alt ist der Baum, wenn für a der Wert 2,5 angenommen wird und bekannt ist, dass der Baum zum Zeitpunkt t=0 eine Höhe von 30cm hatte.

Frage:

Was ist dieses a und wie rechne ich damit? Was ich bei a) und c) machen muss, weiß ich! Allerdings ist es mir nicht klar, wie ich zb die Nullstelle der ersten Ableitung berechne wegen dem a. Also was passiert mit dem a bzw. wie betrachte ich das. Ich leite nach t ab, aber das a bleibt ja dann erhalten.

Answer 1

a) Wie kann der Zeitpunkt bestimmt werden, an dem der Baum am stärksten wächst?

Nullstellen der ersten Ableitung von f_a(t) mit Hilfe der 2. Ableitung auf Maximum untersuchen.

Aber vermutlich soll mit f_a(t) das Wachstum selbst und nicht die Wachstumsgeschwindigkeit modelliert werden.

Dann ist die Nullstelle der zweiten Ableitung gesucht.

Answer 2

fa(t) = 10·t^2·EXP(- 0.1·t - a)

fa'(t) = e^{- 0.1·t - a}·(20·t - t^2)

a) Wie kann der Zeitpunkt bestimmt werden, an den der Baum am stärksten wächst?

Extremstellen bestimmen.

b) Können sie den Wert für a ermitteln, wenn sie wissen, dass der Baum zeitweise eine Wachstumsgeschwindigkeit von 0,3 Meter pro Jahr hat?

f'(t) = 0 --> t = 20

fa(20) >= 30 --> a ≤ 2.892852258

c) Ein 10 m hoher Baum soll gefällt werden, wie alt ist der Baum, wenn für a der Wert 2,5 angenommen wird und bekannt ist, dass der Baum zum Zeitpunkt t = 0 eine Höhe von 30 cm hatte.

F(t) = - 100·e^{- 0.1·(t + 25)}·(t^2 + 20·t + 200) + c

F(0) = 30 -->  c = 1671.7

F(t) = - 100·e^{- 0.1·(t + 25)}·(t^2 + 20·t + 200) + 1671.7 = 1000 --> t = 30.63 Jahre

Comments

Ich weis, was ich machen muss. Die Frage ist, wie der Zusammenhang zu der Variablen a ist!

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a steht für einen beliebigen allerdings festen Wert.

Du behandelst das a als sei es eine Zahl wie pi oder sowas die du nur aus Bequemlichkeit nicht vollständig hinschreibst sondern eben nur als Parameter.

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Das heisst, ich bekomme für die Nullstelle der ersten Ableitung t=20a raus? Das setzte ich in die zweite Ableitung ein, und anhand dessen Ergebnis x wei ich doch, ob es ein Tiefpunkt oder Hochpunkt ist. Aber in dem Ergebnis x muss ja dann auch die Variable a enthalten sein und jenachdem wie ich a wähle, kann ich einen Tiefpunkt oder Hochpunkt kreieren und das scheint doch nicht wirklich eindeutig oder?

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Welche Ableitung hast du und wie hast du sie ermittelt?

Prüfe mal mit meiner Ableitung die ich oben notiert habe.

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Ich verstehe nicht, wie man folgende Gleichung auflöst:

F(t) = - 100·e- 0.1·(t + 25)·(t2 + 20·t + 200) + 1671.7 = 1000 → t = 30.63 Jahre

Da das eine t im Exponenten der E-Funktion steht und in der folgenden Klammer wieder t vorkommt, bin ich etwas überfordert. E-Funktionen  habe ich bisher im mit Ln versucht zu lösen, denke aber, dass es hier der falsche Ansatz ist. Da ich neben der Mutliplikation noch die 1000 und die 1671,7 habe, kann ich auch nicht sagen, dass einer der Muliplikatoren 0 sein muss.

Ich hoffe Sie können mir weiterhelfen und mir die Lösungschritte deatilierter aufzeigen.

MfG, Robin

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Da bei der Gleichung die Unbekannte im Exponenten und auch als Faktor vorkommt, kannst du es nicht so algebraisch lösen. Daher braucht man hier ein Näherungsverfahren. Anbieten tut sich hier eine Wertetabelle.

~plot~ -100*exp(- 0.1*(x+25))*(x^2+20*x+200)+1671.7;[[0|100|0|2000]] ~plot~

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Okay, dann bin ich ja beruhigt. Dachte schon an mir wäre etwas vorbei gelaufen :D

Danke für die schnelle Antwort.

Answer 3

fa(t)= 10t^2 * e ^{-0,1t-a} , t=>0 (t in Jahren, fa(t) in cm pro Jahr) modelliert werden.
a) Wie kann der Zeitpunkt bestimmt werden, an den der Baum am stärksten wächst?

Das stärkste Wachstum findet am Wendepunkt statt.
Krümmung null. Steigung positiv.
t = 5.86 Jahre.
Die x-Stelle des Wendepunkts ist für alle a gleich.

ich muß mir nocheinmal deine eigenen Überlegungen
durchlesen.

Comments

Ein Fehler bei mir.
Angegeben ist bereits die Wachstumsgeschwindigkeit
und nicht das Wachstum.
Die beiden anderen Antworten sind richtig.

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Dafür gibt es die 1.Ableitung ausführlich
fa(t)= 10 * t^2 * e ^{-0,1t-a}
Die 10 ist ein konstanter Faktor
denen berücksichtigen wir zunächst einmal
nicht und fügen ihn zum Schluß wieder hinzu

Produktregel
u = t^2
u ´= 2t
v = e ^{-0,1t-a}
v ´= e ^{-0,1t-a} * ( -0.1 )
u ´ * v + u * v´
2t * e ^{-0,1t-a} + t^2 * e ^{-0,1t-a} * ( -0.1 )
e ^{-0,1t-a} * ( 2t + t^2 * (-0.1) )
e ^{-0,1t-a} * ( 2t  - 0.1*t^2 )
t * e ^{-0,1t-a} * ( 2  - 0.1*t )

10 wieder hinzu
f ´(t ) = 10 * t * e ^{-0,1t-a} * ( 2  - 0.1*t )
Stelle mit waagerechter Tangente
t * e ^{-0,1t-a} * ( 2  - 0.1*t ) = 0
Satz vom Nullprodukt anwenden
die e-Funktion wird nie null.
2  - 0.1*t = 0
t = 20 Jahre

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Hallo Robin,
die Gleichung
F(t) = - 100·e- 0.1·(t + 25)·(t2 + 20·t + 200) + 1671.7 = 1000 → t = 30.63 Jahre

kann algebraisch nicht gelöst werden
sondern z.B. über das Newton-Verfahren.

mfg Georg

Answer 4

Hallo

a ist eine Zahl, für die man erstmal beliebige Werte nehmen kann.

a) wenn du umschreibst und e^-a als Faktor, siehst du, dass die Nullstelle der Ableitung also Max von fa(t) nicht von a abhängt.(du solltes t=20y finden)

b) du kannst a bestimmen, wenn die 0,3 am Max sind, für alle a, für die max >0,3 ist gibt es so ein a also kann man es nicht bestimmen.

du kannst auch einfach die Ableitung 0,3 setzen  und fesstellen. dass man dann 2 Unbekannte t und a hat, also a nicht bestimmen kann, ohne t zu kennen

c) ist für mich nicht lösbar, da f(0)=0, du kannst sie lösen wenn du sagst für t1=1y ist  ist der Baum 0,3 hoch und  dann , bei t2 dann 10m. das Alter ist dann t1+1

Gruß lul

Comments

Das heißt du kommst auf t=20a? Also ich hab mir das online ausrechnen lassen und da steht 20=t und das kann man ja einsetzen in die zweite Ableitung (Aufgabe a) und selbst dann bekommt man doch wieder eine Zahl x raus mit a als zusätzliche Variable oder? Und jenachdem wie a gewählt wird, kann x negativ (und damit Hochpunkt) oder positiv (und damit Tiefpunkt) sein, jenachdem wie man a wählt und dann scheint das Ergebnis für mich nicht wirklich eindeutig, oder?