Bestimmung der Koeffizienten aller Polynome

Question

Hi Community,

Ich bräuchte Hilfe bei der Bearbeitung einer Aufgabe:

Ich steh etwas auf dem Schlauch, da ich nicht weiß wie ich damit umgehen soll, dass nur 5 Punkte angegeben sind und ja 6 Koeffizienten gesucht werden... Habt ihr ein paar Vorschläge für mich?

Grüße

Answer 1

Du könntest ja einen weiteren freien Punkt nehmen und ihn so nennen

P(k,f(k)) mit k∈ℝ. Dann könnte man ein Gleichungssystem mit den übrigen fünf Punkten aufstellen, sodass du wiederum 6 Gleichungen hast. Dann bekommst du eine Schar von Polynomen, die durch die oben fünf angegebenen Punkte gehen und den frei gewählten Punkt P(k,f(k)).

Comments

Oder du wählst eine der sechs Koeffizienten als freie Variable und hast somit nur noch 5 Gleichungen mit den oben angegebenen Punkten zu lösen. Diese freie Variable drückst du dann mithilfe der anderen aus.

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Mhmm... Was meinst du mit freier Variable. Ich steh da gerade etwas auf dem Schlauch. Wie muss ich vorgehen, wenn ich jetzt beispielsweise f als freie Variable wähle?

Vielen Dank, dass du mir noch in später Stunde hilfst!

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Also du stellst mithilfe der fünf Punkte ein Gleichungssystem auf und lôst es nach dem Gauß-Algorithmus so, dass man eine Zeilenstufenform hat.

Du wirst dann merken, dass dieses System unendlich viele Lösungen haben wird. Deshalb kannst du dir eine Variable,z.B f als freie Variable wählen und sie einfachhalber umbennen zu k∈ℝ.

Hier mal ein kleines Beispiel.

1.) 3x+2y+z=0

2.) 2y-4z=2

Du siehst, dass es mehr Unbekannte, als Gleichungen gibt. Du kannst nun folgendes tun.

2.) 2y=2+4z ⇔ y=1+2z. Wähle z=:k, k∈ℝ. Dann ist y=1+2k. Eingesetzt in 1.) ergibt:

1.) 3x+2y+z=3x+2(1+2k)+k=3x+5k+2=0 ⇔3x=-5k-2 ⇔x=(-5k-2)/3

z habe ich hier als freie Variable gewählt. Dann lautet die Lösungsmenge

L={(x,y)∈ℝ×ℝ:x=(-5k-2)/3, y=1+2k}

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Ok, klingt einleuchtent. Ich werde mich morgen Mittag daran versuchen.

Vielen Dank

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Keine Ursache. Gutes Gelingen.

Answer 2

f(x) = a + b·x + c·x^2 + d·x^3 + e·x^4 + f·x^5

wenn du den Punkt (0|4) in die Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du  a = 4

f(x) = 4 + b·x + c·x^2 + d·x^3 + e·x^4 + f·x^5

wenn du jetzt die 4 anderen Punkte einsetzt und auf beiden Seiten der jeweiligen Gleichung 4 subtrahierst, erhältst du die 4 Gleichungen

- 2·b + 4·c - 8·d + 16·e - 32·f  = 70  | |  : (-2)

b - 2c + 4d - 8e + 16f = -35 

-b + c - d + e - f  = 8

b + c + d + e + f  = -2

2·b + 4·c + 8·d + 16·e + 32·f  = - 22  | : 2

b + 2c + 4d + 8e + 16f = 11

Das LGS aus 4 Gleichungen mit 5 Unbekannten hat die Lösung

b  = 1 + 4f    ∧    c =  2   ∧   d + 5·f = - 6 - 5f   ∧   e = 1    (die Variable f ist frei wählbar!) 

Gruß Wolfgang