Die Summe vom größten gemeinsamen Teiler und kleinstem
gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen ist immer mindestens so groß
wie die Summe der Zahlen selbst.
Ihr hattet sicher a*b = ggT(a,b) * kgV(a,b) also (a*b) / ggT(a,b) = kgV(a,b)
mit ggT(a,b)=d wird aus deiner Ungleichung
a+b ≤ d + (a*b) / d
und weil d nicht negativ ist kannst du multiplizieren
(a+b)*d ≤ d^2 + a*b
<=> 0 ≤ d^2 + a*b - (a+b)*d
<=> 0 ≤ d^2 + a*b - ad - bd
<=> 0 ≤ (a-d)*(b-d)
und die rechte Seite besteht aus zwei Faktoren, von denen keiner
negativ werden kann, weil ein Teiler (d) niemals größer als die Zahl ist,
die erteilt.
Gleichheit gibt bei d=a oder d=b, wenn also der ggT von a und b
gleich a oder gleich b ist, d.h. wenn
a Teiler von b oder b Teiler von a ist.
