Algebra, die Verknüpfungtafeln

Question

Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe:

Uberlegen Sie, dass fur die Verknupfungstafeln von endlichen Gruppen gilt, dass in jeder Zeile
und in jeder Spalte jedes Gruppenelement vorkommen muss und dass alle Elemente innerhalb
jeder Spalte und alle Elemente innerhalb jeder Zeile von einander verschieden sein mussen!

Danke !

Comments

Dann überleg doch!

Answer 1

für alle Verknüpfungen mit der 1 gilt das ja trivialerweise. wenn wir uns die mal als erste Zeile der Verknüpfungstafel vorstellen.

Wenn du jetzt von der ersten Zeile, die die Verknüpfungen mit der 1 enthält, auf die zweite Zeile abbildest und zwar durch Multiplikation mit 2, dann kannst du dir überlegen, dass diese Abbildung bijektiv ist. Somit muss auch in Zeile 2 jede Zahl einmal vorkommen und in Zeile 3. etc.. Trivialerweise sind sie dann auch alle verschieden in jeder Zeile.

Ist die Gruppe schließlich kommutativ, so hast du mit dem Zeilenbeweis auch den Spaltenbeweis ausgeführt.

Ist jetzt leicht hingeschrieben, aber überlegen kannst du's dir ja trotzdem mal.

MfG

Mister