Hallo
Also ich bekomme das nur numerisch mit dem Newtonverfahren hin. Ansatz:
xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
Definiere eine Differenzenfunktion f
f(x) : =−π4x2+347x−335π−xsin(x)=3π1(−12x2+47πx−35π2−3πxsin(x))=0f′(x)=3π1(−24x+47π−3πsin(x)−3πxcos(x))Dann hat man:
xn+1=xn−3π1(−24xn+47π−3πsin(xn)−3πxncos(xn))3π1(−12xn2+47πxn−35π2−3πxnsin(xn))=xn−−24xn+47π−3πsin(xn)−3πxncos(xn)−12xn2+47πxn−35π2−3πxnsin(xn)
Dann habe ich mich mit einer Skizze beholfen, um einen Startwert festzulegen:
Plotlux öffnen f1(x) = x·sin(x)f2(x) = -4/π·x2+47/3x-35/3πf3(x) = -4/π·x2+47/3x-35/3π-x·sin(x)Zoom: x(2…11) y(-3…12)
Der grüne Graph repräsentiert die Differenzenfunktion f.
In beiden Bereichen von 3≤x≤4 und 7≤x≤8 findet ein Vorzeichenwechsel der Funktion statt. Nun soll mittels Newtonverfahren bei beiden Intervallen diese Stelle näherungsweise bestimmt werden.
Für 3≤x≤4
Startwert x1=3 und 6 Durchgänge liefern die Approximation:
x1=3x2=3.141342846242714x3=3.141592652013718x4=3.141592653589793x5=3.1415926535897927x6=3.1415926535897936x7=3.141592653589793
Für 7≤x≤8
Startwert x1=7 und 6 Durchgänge liefern die Approximation:
x1=7x2=7.7447320439277885x3=7.848851886629371x4=7.853968632257283x5=7.85398163389037x6=7.853981633974487x7=7.853981633974483