Wie berechne ich die Schnittpunkte zweier Graphen dritten und zweiten Grades?

Question

diese beiden Funktionen sind gegeben:

 ~plot~ 2x^3-10x^2+12x; 6x^2-20x+12 ~plot~

Berechnen Sie die Schnittpunkte

Beide Funktionen gleichstellen

2x^3-10x^2+12x=6x^2-20x+12  |-6x^2

2x^3-16x^2+12x=-20x+12   |+20x

2x^3-16x^2+32x=12   |-12

2x^3-16x^2+32x-12=0

Nullstellen bei 0.486; 2.428; 5.086 

Aber laut Funktionsplotter (siehe oben), haben die beiden Graphen 2 und nicht 3 Schnittpunkte. Warum kommen bei der Rechnung 3 raus?

Und wie berechne ich den y Schnittpunkt?

Comments

2x^3-16x^2+32x-12=0

Um das zu lösen, musst du die Cardanischen Formeln anwenden, außer "nn" kommt wieder mit einem Zaubertrick

https://www.mathelounge.de/516194/cardanische-nullstellenerrechnung-kubischer-gleichungen

Zoom im Koordiantensystem mal im ersten Quadranten etwas höher. Du siehst den dritten Schnittpunkt.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort. Wie kann ich aber y berechnen, dass ich dann einen Koordinatenpunkt oder Schnittpunkt habe?

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Du willst den Schnittpunkt der \(y\)-Achse der Funktion \(2x^3-16x^2+32x-12=0\) berechnen?

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Nein, den Y Schnittpunkt der beiden Graphen, da wo Sie sich schneiden (siehe oben (Funktionsplotter))

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Ich verstehe dich nicht, von welcher Funktion willst du den Y-Schnittpunkt bestimmen?

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den Y Schnittpunkt der beiden Graphen, da wo Sie sich schneiden (siehe oben (Funktionsplotter))

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Du meinst einfach die Schnittpunkte der  beiden Graphen? Wie gesagt, nutze die Cardanischen Formeln.

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Ja genau, da wo sich die beiden Graphen schneiden. Danke für die Antwort

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Soll ich dir die Schnittpunkte berechnen?

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Kannst du auch als Antwort machen, wenn du willst.

Answer 1

Du hast ein Polynom der Form:$$Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$$ Du musst nun zwei weitere Variablen berechnen, diese stellen \(p\) und \(q\) dar:$$p=\frac{9AC-3B^2}{9A^2}$$$$q=\frac{2B^3-9ABC+27A^2D}{27A^3}$$ Dein Polynom lautet:$$\underbrace{2}_{A}x^3-\underbrace{16}_{B}x^2+\underbrace{32}_{C}x-\underbrace{12}_{D}=0$$ Setze nun in die beiden Gleichungen ein.$$p=\frac{9\cdot 2\cdot 32-3\cdot (-16)^2}{9\cdot 2^2}=-\frac{16}{3}$$$$q=\frac{2\cdot (-16)^3-9\cdot 2 \cdot (-16)\cdot 32+27\cdot 2^2\cdot (-12)}{27\cdot 2^3}=-\frac{34}{27}$$$$x_1=\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right)-\frac{B}{3A}$$$$x_2=-\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)+\frac{\pi}{3}\right)-\frac{B}{3A}$$$$x_3=-\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{B}{3A}$$ Dort setze ich jetzt einfach unsere errechneten Werte ein und erhalte:$$x_1=\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{16}{3}\right)}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{-\frac{34}{27}}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{\left(-\frac{16}{3}\right)^3}}\right)\right)-\frac{-16}{3\cdot 2}≈ 5.086130$$ Den Rest kannst du in den TR eintippen!!

Comments

Sehr gut erklärt.

Damit liegt ein Schnittpunkt bei

S(5.09/y)

Gibt es auch deine Möglichkeit y zu berechnen?

S(5.09/y) Dieses y

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Ich verstehe nicht, von welchem Schnittpunkt du redest. Die Funktion 2x^{3}-16x^{2}+32x-12=0 besitzt keinen Y-Schnittpunkt. Meinst du vielleicht Hochpunkt?

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Zeichnerisch gesehen liegt er bei ca. 3,6

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Oh Nikola,

Dann muss ich das gleich nochmal machen!

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Nein, ich glaube ich blicke jetzt durch, gib mir nen mom!

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Das, was ich komisch finde ist, das Polynom hat ja drei Nullstellen, aber die Cardanischen Formeln zeigen nur einmal die richtige...

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Einen Schnittpunkt können wir aber schon berechnen, da eine Nullstelle mysteriöser Weise stimmt:

f(5.086)=6*5.086^2-20*5.086+12

f(5.086)=65.484376

S(5.086|65.48)

https://www.desmos.com/calculator/jan0suzvtu

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Ich kann diese 5.086 auch in f(x)=2x^3-10x^2+12x einsetzen, da kommt das gleiche raus.

Du hast dir den Stern mehr als verdient.

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Dad ist aber nur einer der drei Schnittpunkte. Irgendwie schieben diCardanischen Formeln gerade faxxen. Das guck ich mir morgen nochmal an.

Ja es ist egal in welche Funktion du das einsetzt

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Habe das mir nochmal angeguckt. Es ist komplett sinnfrei, dass \(x_1\) zu einem richtigen Ergebnis führt, bei den anderen aber irgendwas nicht according to plan läuft. Unerklärlich!

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Hier ist alles richtig, ich kann nur keinen Taschenrechner bedienen.

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Gelten diese Formel NUR für die Form:

Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 ?

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Richtig Nikola. Ich werde dir gleich ein kleines Briefing geben.

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Es gibt eine Diskriminante, welche durch:$$\Delta=\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{2}\right)^3$$ bestimmt wird. Diese gibt an, wie viele Nullstellen es gibt und welches Lösungsverfahren du anwenden musst.

Lies dich dazu mal auf Wikipedia ein:

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Ab:

"Das Löungsverhalten hängt entscheidend vom ... "

Einfach STRG + F und die Seite danach durchsuchen.

Berechne mal das Polynom:$$x^3+2x^2-4x+2=0$$

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Ok, ich gebe ein paar Tipps, weil das schon fies ist.

Für \(p\) erhalte ich \(p=\frac{16}{3}\) und für \(q=\frac{142}{27}\). Du musst nun zwei Gleichungen aufstellen nämlich:$$-p=3uv$$$$q=u^3+v^3$$ Dort setzt du \(p\) und \(q\) ein, löst es und setzt ein. Relle Nullstellen berechnest du wie folgt:$$x_1=u+v-\frac{B}{3A}$$ Die komplexen erhältst du mit:$$x_{2,3}=-\frac{u+v}{2}-\frac{B}{3A}\pm\frac{u-v}{2}i\sqrt{3}$$

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Die  obere Formel mit cos und arccos ist sehr Umfangreich und da können Fehler beim rechnen entstehen. Aber jetzt versteh ich diese.

Vielen Dank für die Hilfe

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Finde das wirklich erstaunlich wie so ein Kauderwelsch zur richtigen Antwort führt

Answer 2

Aber laut Funktionsplotter (siehe oben), haben die beiden Graphen 2 und nicht 3 Schnittpunkte. Warum kommen bei der Rechnung 3 raus?

Bei richtiger Achsenskalierung zeigt auch der Plotter drei Schnittpunkte.

Comments

z.B. so:      (Fülltext #########)

Answer 3

Du meinst

Und wie berechne ich den y-Wert der Schnittpunkte?

Du löst ja das Gleichungssystem

y = 2x^{3}-10x^{2}+12x      (I)

y =6x^{2}-20x+12             (II)

(II) in (I) einsetzen

6x^{2}-20x+12 = 2x^{3}-10x^{2}+12x

Nun hast du die x-Koordinaten der Schnittpunkte.

Die y-Koordinaten dieser Punkte bekommst du durch Einsetzen in (I) oder in (II).

Kontrolle: Es muss zwei mal dasselbe y resultieren.