Polynomdivision Aufgabe Krankenstand

Question

Ich stehe gerade ziemlich auf dem Schlauch und bräuchte daher eure Hilfe. Ich habe eine Gleichung gegeben und soll herausfinden wann der Krankenstand 1,5% betrug.

Das ist mein Lösungsansatz:

0,01x^3-0,16x^2+0,48x+1,61 = 1,5   | -1,61

0,01 x^3-0,16x^2+0,48x = -0,11   | +0,11

0,01x^3-0,16x^2+0,48x +0,11 = 0

Damit würde ich nun gerne eine Polynomdivision machen, aber ich finde beim besten Willen keinen Linearfaktor. Ist mein Lösungsweg so nicht richtig?

Schonmal vielen Dank im Voraus! LG

Comments

Wie wäre es mit den Cardanischen Formeln? Diese sind eigentlich richtig easy und führen sicher zum Ergebnis!

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Wie funktioniert das denn?

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Dann hätte ich ja x^3-16x^2+48x+11=0 aber auch dazu finde ich keinen Linearfaktor

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Ich danke euch allen ganz ganz herzlich für eure Antworten !!! Ich versuche jetzt mal etwas sinnvolles aufs Papier zu bekommen.

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Klick mal hier drauf habe das was für dich vorbereitet. Damit du dich mit den Formeln vertraut machen kannst.

https://www.desmos.com/calculator/cryndy0ysi

Answer 1

Hallo

 die Cardanschen Formeln muss man i.A. nicht anwenden.

Aber ob du die Gleichung richtig aufgestellt hast, kann man nicht sagen, solange man nicht weiss, was das Polynom denn ist.

 auf jeden Fall müsste man es erst mal mit 100 multiplizieren, dann ist das absolute Glied 11. Die einzig möglichen ganzen Lösungen sind dann +-1 und +-11, und die sind keine Lösungen.

also schreib die eigentliche Aufgabe

Gruß lul

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Die Aufgabe lautete: Die Personalabteilung hat über viele Jahre den Krankenstand erfasst und für jeden Tag des Jahres Mittelwerte gebildet. Danach kann der Krankenstand mit folgender Funktionsgleichung vorhergesagt werden: f (x)= 0,01x^3-0,16x^2+0,48x+1,61   x ist ein Element  [0;12].

Dabei gibt x die Zeit in Monaten an und x=0 entspricht dem Jahresbeginn  (1. Januar).

Aufgaben dazu:

a) Wann gab es den höchsten, wann den geringsten Krankenstand?

Hier habe ich Extremstellen berechnet und bin auf  T (8,87|0,26) und H (1,81|2,01) gekommen. 

b) Wann betrug der Krankenstand 1,5%?

Hier hätte ich nun nach x aufgelöst, indem ich 1,5 als y-Wert einsetze. Dazu bräuchte ich nach Meiner Rechnung die Polynomdivision.

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Kann ich wegwerfen hier ist ein Fehler passiert.

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FÜLLTEXT! [...]

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Achso okay, ich konnte es nämlich auch gerade nicht ganz nachvollziehen

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Ich rechne dir das in einer halben Stunde aus. Ich brauche jetzt erstmal etwas Ruhe zur Reflexion.

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Das ist überhaupt kein Problem.

Answer 2

Meiner Meinung nach gibt es kein manuelles
Lösungsverfahren mit vertretbarem Zeit- und Arbeits-
aufwand.

Der Graph

Lösungen 4.33 und 11.88

Dürft ihr einen GTR-Rechner verwenden ?

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Nein leider dürfen wir keinen GTR benutzen

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Falls die Aufgabe im Unterricht besprochen
wird würde ich gern den Lösungsweg
erfahren.

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Es können eig. nur die Cardanischen Formeln sein....

Answer 3

0,01x^{3}-0,16x^{2}+0,48x +0,11 = 0

Bringe die Gleichung in die Normalform durch Division durch 0.01:

x^3-16x^2+48x+11=0   ----> x^3+ax^2+bx+c

Bestimme \(p\) und \(q\):

p=-48-((-16)^2/3)

p=-(112/3)

q=((2*(-16)^3)/27)-((-16*48)/3)+11

q=-(983/27)

Bestimme nun die Diskriminante Δ:

Δ=(-(983/27)/2)^2+(-(400/3)/3)^3

Δ=-172349/108

Δ<0 ---> 3 reelle Lösungen

Die Formel zur berechnung lauten nun:$$x_1=\sqrt{-\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{112}{3}\right)}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{-\frac{932}{27}}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{\left(-\frac{112}{3}\right)^3}}\right)\right)-\frac{-0.16}{3\cdot 0.01}\approx 11.88256$$ Die anderen Formeln heißen:$$x_2=-\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)+\frac{\pi}{3}\right)-\frac{B}{3A}$$$$x_3=-\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{B}{3A}$$ Setze doch mal selbst ein!

EDIT:
Ich erhalte für \(x_2\approx4.331175\) und \(x_3\approx-0.213735611445\)

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Frag mich ruhig aus, ich weiß, dass ich es scheiße erklärt hab. Bin müde und hatte absolut keine Lust mehr.

Answer 4

Hallo

Newtonverfahren (Näherungsvervahren):

f(x) = 0,01·x³-0,16·x²+0,48·x +0,11 = 0

f '(x) = 0.03·x² - 0.32·x + 0.48

Berechnen der Nullstellen von f(x)  (f muss differenzierbar sein) 

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel
x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)
Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast. (hier höchstens 3 !)
Manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für x_alt zum Beispiel eine  Extremstelle erwischt). Dann hilft oft ein anderer Startwert.
Je besser der Startwert, desto weniger Rechnung:

      →  x₁ ≈ - 0,21  (entfällt in der Aufgabenstellung)

     →  x₂ ≈ 4,33

   →  x₃  ≈ 11,88 

Gruß Wolfgang

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Das ist Excel, oder?

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Die Rechnung stammt von einem Excelprogrämmchen von mir (Arbeitsersparnis :-))

Kann man aber mit jedem "normalen" TR machen.

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Jo, vielleicht doch Fall fürs Newton-Verfahren?

Weil der Intervall [0;12] gegeben ist, dann hat man ja schonmal gute Startwerte... Aber die Cardanischen Formeln sind auf jeden Fall attraktiver für mich persönlich

Answer 5

wenn es nur darum geht, die Lösung zu finden, dann teste f(0,1,2,3,...,12).

f(4) und f(12) liegen nah an 1.5 dran. Dann

testest du f(4.5) bzw. f(11.5) und halbierst die Intervalle immer bis du die gewünschte Genauigkeit erzielt hast.

Answer 6

  Von mir stammen die ===>  Alfonsinischen pq-Formeln ( erste und zweite AF ; AF1 und AF2 )

    pq-Formeln sind wichtig; das wisst ihr  ( Ich habe übrigens noch zwei weitere entdeckt. )

   Ich bekam hier schon ein Kompliment, dass es die besten Ansätze seien.

     Kein Lehrer, kein Internetportal macht Polynomdivision mit Gleitkommazahlen.

   Zur Namensgebung; in den Kinos läuft ja jetzt der Jim Knopf an.

   Ich verfüge über einen Kronzeugen, dass Michael Ende seinen Jim Knopf speziell für mich verfasste; da war ich erst Neun.

   Und da fand ich es halt irgendwie witzig, meine Spezialformeln nach König Alfons von Lummerland zu benennen.

    Von Wolfram habe ich schon mal die Nullstelle als Ansatz

         x3  =  (  -  .2137  )       (  1  )

    Was haben wir? Wir gehen aus von der Normalform eines kubistischen Polynoms

     f  (  x  )  =  x  ³  +  a2  x  ²  +  a1  x  +  a0       (  2a  )

       a2  =  (  -  16  )  ;  a1  =  48  ;  a0  =  11      (  2b  )

    Und wo wollen wir hin?  Gesucht ist das quadratische Faktorpolynom

      f  (  x  )  =:  (  x  -  x3  )  g  (  x  )      (  3a  )

          g  (  x  )  :=  x  ²  -  p  x  +  q      (  3b  )

    Gegeben a2;1;0  , geraten x3  .  Gesucht p und q  .  Die beiden AF stellen nun ein  LGS  dar zur Bestimmung von p und q ;  sie beruhen auf Vieta dem geschmähten Stiefkind:

     a2  =  -  (  p  +  x3  )  =  (  -  16  )  ===>  p  =  16.21    (  AF1  )       (  4a  )

    a0  =  -  q  x3  =  11  ===>  q  =  51.47    (  AF2  )         (  4b  )

    Und weiter mit der Mitternachtsformel in ( 3b ) Meine Lösungen stimmen; ich hab das eben mal auf die Schnelle in Wolfram vergleicht.

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  Noch zu den beiden AF  .  Dieses  LGS ist noch nicht mal gekoppelt;  du hast im Leben eindeutig schon tückischere  LGS  gelöst.

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Ich danke euch allen ganz ganz herzlich für eure Mühe !!! Ich versuche jetzt mal etwas sinnvolles aufs Papier zu bekommen.