Question

Berechnen Sie (ohne die Regel von l’Hospital) die folgenden Grenzwerte:

(a)  lim_x→1  (x³+3x²+3x-7) / (x²-3x+2)

(b)  lim_x→0  [2+(1/x²)] / [(1/x⁴)+4]

(c)  lim_x→∞ [(x+7)² * √(x+2)] / [7x² * √(x)-2x * √(x)]

(d)  lim_x→1 [x⁴-x³-21x²+41x-20] / [x⁴+2x³-4x²-2x+3]

Answer 1

(x³+3x²+3x-7) / (x²-3x+2)

Zähler und Nenner haben beide die Nullstelle 1.

Also kannst du den Linearfaktor (x-1) abspalten:

(x-1)*(x^2 +4x +7)  /  (  (x-1)*(x-2) )

und dann für x≠1 kürzen gibt

(x^2 +4x +7)  /  (x-2)

Also ist der Grenzwert   12/-1  =  -12

b) erweitere mit x^4

Answer 2

Aufgabe d)

Zähler: x^4-x^3-21x^2+41x-20 = (x^2-2x+1) *(x^2+x-20)

Nenner:x^4+2x^3-4x^2-2x+3 = (x^2-2x+1)*(x^2+4x+3)

->kürzen:

=lim(x-->1)  (x^2+x-20)/(x^2+4x+3)= -9/4

Comments

es gibt hier einen kleinen Fehler :

x4-x3-21x2+41x-20 = (x2-2x+1) *(x2-x-20)

 dann der Grenzwert = - 5/2

---

(x^2-2x+1) *(x^2-x-20) =x^4 - 3 x^3 - 17 x^2 + 39 x - 20

------>da hast Du Dich selbst verrechnet.

lim_(x->1) (x^4 - x^3 - 21 x^2 + 41 x - 20)/(x^4 + 2 x^3 - 4 x^2 - 2 x + 3) = -9/4