In einer Urne sind 5 blaue und eine gelbe Kugel. Ist das Spiel fair oder nicht?

Question

In einer Urne sind 5 blaue und eine gelbe Kugel. Beim Ziehen aus der Urne wird folgende Regel festgelegt: Ist die gezogene Kugel gelb, so wird sie wieder zurückgelegt. Ist die gezogene Kugel blau, wird sie bei Seite gelegt und in der Urne durch eine gelbe Kugel ersetzt.

Auf einem Jahrmarkt wird folgendes Spiel angeboten: Nach einem Einsatz von 3 € darf der Spieler dreimal ziehen. Bei drei gelben Kugeln erhält er 50 €, bei zwei gelben Kugeln 5 € und bei einer gelben Kugel wird der Einsatz ausbezahlt.

a) Weise rechnerisch nach, dass das Spiel nicht fair ist.

b) Berechne, welchen Einsatz der Spieler zahlen müsste, damit das Spiel fair wird.

Wie rechne ich hier den Erwartungswert aus?

Answer 1

X: Anz. der gezogenen gelben Kugeln, Zufallsvariable
Y: Gewinn in Euro, Zufallsvariable
a: Einsatz in Euro

$$P(X=0) = \frac{5}{6}\cdot\frac{4}{6}\cdot\frac{3}{6}\\ P(X=2) = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}+\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{6}+\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{6}\\ P(X=3) = \left(\frac{1}{6}\right)^3\\ E_a(Y) = -a\cdot P(X=0)+(5-a)\cdot P(X=2)+(50-a)\cdot P(X=3)$$

Für Aufgabe (a) \(E_3(Y)\) ausrechnen und für Aufgabe (b) \(E_a(Y)=0\) berechnen.