Abbildung φ : V → V linear mit φ ◦ φ = 0 und φ ≠ 0, wobei ◦ ... Beweis von Kern(φ) = Bild(φ)

Question

Stehe mal wieder vor einer Wand ; (

Es sei V ein zweidimensionaler K-Vektorraum und φ : V → V linear mit φ ◦ φ = 0 und φ ≠ 0, wobei ◦ die
Verkettung von Abbildungen ist. Zeigen Sie, dass gilt:

Kern(φ) = Bild(φ)

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass Kern(∅) = Bild (∅) gilt

Stichworte: kern,vektorraum,bild,abbildung,beweis

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen ?

Es sei V ein zweidimensionaler K-Vektorraum und  ∅ : V -> V linear mit ∅ °∅ = 0 und ∅ ≠ 0, wobei ° die Verkettung von Abbildungen ist.

Zeigen Sie, dass  Kern(∅) = Bild (∅) gilt

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

Ich bedanke mich

EDIT: Umgeleitet, da  ∅ wohl zu stark an die leere Menge erinnert hat. 

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Hast du einen Ansatz? Kennst du die Definitionen? Die Beziehung \( \text{Kern}(\varphi) \subseteq \text{Bild}(\varphi) \) kannst du leicht zeigen. Sei dazu \( v \in \text{Bild}(\varphi) \). Dann existiert ein \( w \in V \) mit \( \varphi(w) = v \) und daraus folgt, ... 

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...da v ∈ ker(φ) ist φ(v) = 0 ?

So richtig weiß ich nicht was ich tun soll...

Wie kann denn φ ≠ 0 und φ°φ = 0 sein?

Answer 1

Wegen φ≠0 gibt es ein v∈V mit φ(v) ≠ 0

==>   dim(Kern(φ)) >0

Und es ist Bild(φ) ≠ {0}, also dim(Bild(φ)) > 0

Andererseits gilt die Dim-Formel

dim(Kern(φ)) + dim(Bild(φ)) = dim(V)  = 2

Wenn die Summe zweier positiver ganzer Zahlen gleich 2 ist,

kann nur jede = 1 sein. Also haben beide die gleiche Dimension 1.

Außerdem gilt wegen φ(φ(v)) = 0   für alle v∈V auch

                φ(v) ∈ Kern(φ) und damit Bild(φ) ⊆ Kern(φ) .

Und da beide die gleiche Dim haben, sind sie also gleich.

Comments

Hallo, mathef. Ich verstehe nicht ganz, wieso aus "es gibt ein v∈V mit φ(v) ≠ 0" folgt, dass dim ker φ > 0. Müsste damit dim ker φ > 0 nicht Folgendes gelten: Es gibt ein v∈V\{0} mit φ(v) = 0 ?

Nimm z.B. die Identität. Klaro gibt es ein v∈V mit id(v) ≠ 0, aber ker id = 0.

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Das war wohl in der Tat nicht so schlau. Ist wohl eher so:

Für jedes v∈V gilt nach Vor.     φ ( φ (v)) = 0

==>  Für jedes v∈V  ist φ (v) ∈ Ker(φ )

Wäre nun  Ker(φ ) = {0} dann wäre

 für jedes v∈V      φ (v) = 0, also    φ=0.