Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme beim 1000maligen Werfen eines fairen Würfels größer als 3500 ist

Question

komme hier leider nicht weiter.

"Bestimmen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass die Augensumme beim 1000maligen Werfen eines fairen Würfels größer als 3500 ist"

Ich weiß ich muss vermutlich den zentralen Grenzwertsatz nutzen muss, aber damit kann ich nur ausrechnen, wenn nach dem n gefragt wird und nicht nach der Wahrscheinlichkeit als solches.

Comments

Die approximative Wahrscheinlichkeit beträgt 0.5.

Answer 1

Hallo DickerFisch, du brauchst hier tatsächlich den Zentralen Grenzwertsatz.  Siehe z. B. den passenden Wikipedia-Artikel.  Mit den Bezeichnungen aus diesem Artikel:  Wir haben die Zufallsvariable X₁ für einen Wurf mit dem Würfel.  n = 1000.  Der Erwartungswert von S₁₀₀₀ ist 1000 * µ.  Wie groß ist er also?

Comments

Hallo DickerFisch, bist du nicht mehr an dieser Aufgabe interessiert?  Oder brauchst du mehr Hilfe?

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Wie kommt es eigentlich, dass manche Leute hier eine Frage stellen, und wenn ich ihnen dann helfen will, melden sie sich nicht mehr?  Vielleicht wollen sie auch einfach nur eine fertige Lösung und haben keine Lust, ihr Köpfchen anzustrengen.

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Tröstet es dich, wenn ich an der Lösung interessiert bin? :D

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Prima!  Kommst du mit meinem obigen Tipp weiter?

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Ok, habs verstanden.

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 Der Erwartungswert wird laut Wikipedia so:$$E\left(\sum_{i=1}^{1000}{X_i}\right) = 1000 \cdot E(X_1) = 3500$$Erst einmal muss dieses \(Z_{1000}\) bestimmt werden:$$Z_{1000}=\frac{\sum_{i=1}^{1000}{X_i-3500}}{\sqrt{Var(\sum_{i=1}^{1000}{X_i})}}$$ Wir suchen die Wahrscheinlichkeit für:$$P\left(\sum_{i=1}^{1000}{X_i} > 3500\right) = P(Z_{1000} > 0)$$ Nun lese ich auf Wikipedia, dass \(\lim\limits_{n\to\infty}P(Z_{1000}≤ \underbrace{z}_{z=0})=\Phi(0)\). Den Wert für \(\Phi(0)\) kann ich nun einer tollen Tabelle entnehmen. \(\Phi(0)=0.5\)

Danke für den Weblink. :) Damit deine Antwort nicht ganz unnötig war. Das werden wahrscheinlich auch noch andere lesen.

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Hallo racine, mit der von dir genannten Formel Z₁₀₀₀ = … kannst du einen Wert von S₁₀₀₀ in einen Wert von Z₁₀₀₀ transformieren.  Siehe die Formel in meinem Bild unten.  Zu S₁₀₀₀ = 3.500 gehört Z₁₀₀₀ = 0.  Und P(3.500 ≤ S₁₀₀₀ ≤ 6.000) ≈ P(0 ≤ Z₁₀₀₀ ≤ ∞) ≈ 0,5

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Hallo Roman,
hallo racine,
soviel zunächst
Berücksichtige ich den Fall
x = 3500 nicht so ist die Aufsummation aller Fälle
in der
Hälfte aller Fälle > 3500
und die in der anderen
Hälfte aller Fälle < 3500.

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Zu S_(1000) = 3.500 gehört Z_(1000)

Was soll das bedeuten? Wie hast du denn in die Formel eingesetzt, so wie ich das tat?

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Georg, ich will erst einmal verstehen, was RomanGa gemacht hat, weil unsere Rechenwege nicht wirken übereinzustimmen...

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Hallo racine, setze in die Formel aus meinem Bild (= Formel aus Wikipedia) ein:  S₁₀₀₀ = 3.500, n = 1.000, µ = 3,5.  Dann erhältst du Z₁₀₀₀ = 0.  Kannst du mir folgen?

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Ja, ich habe das auch gemacht. Der Zähler wird 0, somit kommt aus dem Bruch \(=0\) raus. Wir haben also den Wert \(Z_{1000}=0\).

Nun steht auf Wikipedia:$$\lim\limits_{n\to\infty}P(Z_n≤z)=\Phi(z)$$

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Genau.  Und z ist null.

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Ja, und der Wert für \(\Phi(0)=0.5\).

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Bildlich gesprochen:  Um die Fläche eines schraffierten Bereiches von S₁₀₀₀ zu bestimmen, bestimmt man lieber die Fläche eines schraffierten Bereiches von Z₁₀₀₀, denn da kann man auf eine Tabelle zurückgreifen.

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Ausgesprochen interessante Aufgabe! Ich liebe Aufgaben, die eigentlich komplett trivial wirken, aber doch solch ein mathematisches Problem darstellen.

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ich möchte bei eurem fachlichen Austausch natürlich
nicht stören und sehe auch den Lerneffekt bei der
Bearbeitung dieser Aufgaben...

... aber abgesehen von dem Würfelergebnis 3500

gilt

die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang
größer 3500 ist dieselbe wie für den Ausgang
kleiner 3500.

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die Wahrscheinlichkeit für den Ausgang
größer 3500 ist dieselbe wie für den Ausgang
kleiner 3500.

Das verstehe ich nicht

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Dann sie dir einmal die Verteilungsskizze von
Roman an
links = rechts
Es herrscht Symmetrie bei den möglichen
Ausgängen.
0.5 = 0.5

0.5 + 0.5 = 1

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Die Fläche unter der Kurve = die Wahrscheinlichkeit.  Der in meinem Bild Nr. 3 schraffierte Bereich ist genauso groß, wie der weiße Bereich.  Zusammen muss die Fläche unter der Kurve 1 sein.  Also ist der schraffierte Bereich 0,5 und der weiße Bereich ebenso.

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So ganz bin ich nicht mit Eurer Rechnerei einverstanden. Ich möchte zunächst die Aussage von georgborn unterstützen.

Berücksichtige ich den Fall x = 3500 nicht,
so ist die Aufsummation aller Fälle in der Hälfte aller Fälle > 3500 und die in der anderen Hälfte aller Fälle < 3500.

Damit könnte man die Wahrscheinlichkeit für eine Augensumme > 3500 wie folgt bestimmen.

P(X > 3500) = (1 - P(X = 3500))/2

Nun ist P(X = 3500) aber nach dem Grenzwertsatz 0. Und damit ist P(X > 3500) = 0.5

Das ist jetzt aber nur die approximative Wahrscheinlichkeit. Mich würde aber vielmehr interessieren wie groß wirklich P(X > 3500) ist. Kann man das nicht besser mit der Normalverteilung nähern?

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Was ist denn dann der Erwartungswert und die Standardabweichung?

μ=3.5

σ=\(\sqrt{Var(\sum_{i=1}^{1000}{X_i})}\)

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Der Erwartungswert wurde hier schon etliche male berechnet.

Als Standardabweichung bekomme ich 54.01. Das kann ja mal jemand prüfen.

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deine Formel P(X > 3500) = (1 - P(X = 3500))/2 ist m. E. falsch.  Korrekt ist P(X > 3500) = 1 - P(X <= 3500).

Unser Z_n ist für n gegen unendlich die Normalverteilung.

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Hallo Roman,
die beiden Formeln sind identisch

|--------a---------|--3500--|--------b--------|

a + 3500 + b = 1
gesucht b
( Mathecoach )
b = ( 1 - 3500 ) / 2

oder
( Roman )
b = 1 - ( a + 3500 )
a = b
b = 1 - ( b + 3500 )
b = 1 - b - 3500
2b = 1 - 3500
b = ( 1 -3500 ) / 2

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Ja, stimmt   :-)  

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Huhu, sorry RomanGa, ein Kommilitone konnte mir weiterhelfen. :-)

Nein, ich war nicht nur an der Lösung interessiert. Wie man an meinen anderen Fragen sieht, beantworte ich mir diese auch manchmal über die Kommentare selbst, falls ich doch noch drauf komme, hab's hier nur schlicht und einfach vergessen.

Danke für die Lösung und ich hoffe du hilft trotzdem nochmal,

dein Fischi

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Sollte 0.5 denn die Lösung sein. Ich hätte es mit der Normalverteilung gemacht und habe dann einen anderen Wert heraus.

Aber dann näher ich ja nur über die Normalverteilung und benutze nicht den Grenzwertsatz. Allerdings besagt ja genau der Grenzwertsatz erst, dass ich mit der Normalverteilung rechnen darf.

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Hallo DickerFisch, klar helfe ich auch weiterhin.  :-)
wenn du willst, kannst du mir deinen Lösungsweg zeigen, und wir reden darüber.  :-)