Konstruktion von funktionen

Question

Ich weiß leider nicht wie man Funktionen konstruiert. Kennt ihr den einfachsten Lösungsweg? Könntet ihr es anhand dieser Aufgabe erklären? Vielen dank :)

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine gebrochen-rationale Funktion y=f(x) mit den folgenden
Eigenschaften:
Die Funktion hat Nullstellen bei x=1 und x=2, die Gerade y=3 als Asymptote und es gilt:
f(4)=1. Außerdem hat die Funktion keine Polstellen.
Tipp: Verwenden Sie den Nenner: x² + a mit dem Parameter a>0.
Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung.

(Ich weiß nicht wie ich das mit der Asymptote einbringen soll. Bei den NST. ist es einfach)

Answer 1

fa(x) = 3·(x - 1)·(x - 2)/(x^2 + a)

fa(4) = 3·(4 - 1)·(4 - 2)/(4^2 + a) = 1 --> a = 2

f(x) = 3·(x - 1)·(x - 2)/(x^2 + 2)

Comments

vielen dank, hatte nur die 3 nicht und dadurch wusste ich nicht weiter :) warum haste die 3 also die Asymptote so gesetzt? bitte nur kurz erklären

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Du hast eine waagerechte Asymptote wenn Der Grad des Zählerpolynoms gleich dem Grad des Nennerpolynoms ist. Das Nennerpolynom kennst du. Allgemein weißt du also dass die Funktions so aussieht.

f(x) = (bx^2 + cx + d) / (x^2 + a)

Wo wäre hier jetzt eine Asymptote und warum? Kannst du das dann auch einfacher schreiben, wenn du die Nullstellen kennst?

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leider komme ich mit Funktionen allgem. nicht aus.

Man lernt nur das im Zähler die nullstellen mit dem entgegengesetzten Zeichen eingefügt werden. wirklich verstehen tun die wenigsten :(

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Was verstehst du daran genau nicht? Wenn ich weiß woran es hapert kann ich vielleicht helfen.

3·(x - 1)·(x - 2) = 0

Hier gilt der Satz vom Nullprodukt. D.h. die Nullstellen kann man direkt ablesen. Sie sind einfach dort wo die Klammern null werden.

x - 1 = 0

x = 1

oder

x - 2 = 0

x = 2

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Wenn Polstellen vorkommen →dann im Nenner. bei lim x gegen +∞ gegen 2 muss es im Zähler sein. Was ist wenn f(0) = 2 und f(6) = 0 ?? kommt 2 mal a vor in dieser Funktion?

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das mit den nst hab ich verstanden, danke.

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lim x gegen +∞ gegen 2

Daraus folgt. Grad des Zählerpolynoms = Grad des Nennerpolynoms

Leitkoeffizient des Zählers durch den des Nenners ist 2.

y = 2·(x - 6)·(x - 1/6) / (x^2 + 1)

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könntest du bitte wie im ersten Antwort vorrechnen? Schritt für schritt, danke :)

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Was ist wenn f(0) = 2 und f(6) = 0 ?? kommt 2 mal a vor in dieser Funktion?

Schau mal was passiert wenn du 0 einsetzt. Was kommt dann heraus und warum?

Schau was passiert wenn du 6 einsetzt. Was kommt dann heraus und warum?

Was ist letztendlich der Grenzwert für x --> ± ∞ ? Woran kann man das erkennen?

Spiel selber mal ein wenig mit Funktionen und einem Funktionsplotter herum. Dadurch lernst du sehr viel zum Grundverständnis von Funktionen.

Also nimm dir Funktionen lass sie dir darstellen und nimm Graphen und probier dazu einen Funktionsterm aufzustellen.

Answer 2

wegen der Nullstellen
( x - 1 ) * ( x - 2 ) / ( x^2 + a )

für die Asi : Polynomdivision
x^2 - 3x + 2 : x^2 + a = 1 + ( -3x + 2 - a )/(x^2 + a )
x^2 + a
---------
  - 3x + 2 - a

lim x −> ±∞ [ 1 + ( -3x + 2 - a )/(x^2 + a ) ] = 1
soll aber 3 sein, also
3 * ( x - 1 ) * ( x - 2 ) / ( x^2 + a )

f ( 4 ) = 1
3 * 3 * 2 / ( 16 + a ) = 1
18 / ( 16 + a ) = 1
a = 2

f ( x ) = 3 * ( x - 1 ) * ( x - 2 ) / ( x^2 + 2 )

Bitte nachprüfen. Müßte so stimmen.