Question

Sei K ein Körper, n ∈ ℕ und seien A, B , T drei Matrizen in M (n,n,K).

Zeigen Sie:

        (a) Spur(B*T) = Spur(T*B)

        (b) Falls T invertierbar ist, so gilt Spur (T^-1* A * T) = Spur(A)

Comments

Zu (a) siehe auch hier: https://www.mathelounge.de/498213/zeigen-dass-fur-zwei-matrizen-gleiche-bezuglich-spurt-gilt.

---

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen sie, dass Spur(B*T)=Spur(T*B)

Stichworte: matrizen,spur,inverse-matrix,matrix

Sei K ein Körper mit n E N und seien A,B,T drei Matrizen im M(n,n,K).

Zeigen Sie, dass

a) Spur(B*T)= Spur(T*B)

b)Falls T invertierter ist, so gilt Spur(T^-1 *A*T)=Spur(A)

---

Vom Duplikat:

Titel: Seien A, B, T drei Matrizen in M(n, n, K), zeigen Sie Spur(B · T) = Spur(T · B).

Stichworte: matrizen,spur

Sei K ein Körper, n ∈ N und seien A, B, T drei Matrizen in M(n, n, K).
Zeigen Sie:
Spur(B · T) = Spur(T · B).

Answer 1

  Ein besonders schöner Beweis folgt aus der Diracschen ===>  Bracketnotation. Die ist nämlich unbestechlich.
  Man muss vielleicht dazu sagen, worauf vor mir noch keiner hingewiesen hat: Ein " Bra "  < i |  ist immer ein Zeilenvektor; und ein  "  Ket "  |  k >  ist immer ein Spaltenvektor.  Mir kam dann die Idea, den Diracformalismus aufzurüsten um die ===>  Einsteinsche Indexkonvention.  Man zeigt dann unschwer

      |  i  >  <  i  |  =  1|  =  Einheitsmatrix        (  1  )

    Frage:  Warum tut man eigentlich Matrizen  " Zeile  Mal Spalte "  ausmultiplizieren und nicht distributiv, wie es ansonsten bei Zahlen üblich  ist?  Ein Mistverständnis; die Matmul  IST  distributiv. Schauen wir uns dochmal näher an, wie Dirac eine Matrix notiert.

          B  =  1|  *  B  *  1|  =    (  2a  )

  =  (  |  i  >  <  i  |  )  B  (  |  j  >  <  j  |  )  =    (  2b  )

  =  |  i  >  (  <  i  |  B  j  >  )  <  j  |    =         (  2c  )

  =    <  i  |  B  j  >            (  |  i  >  <  j  |  )      (  2d  ) 

            Matrix
            Element                     Dyade
                ^                                 ^               
                |                                  |
                |                                  |
                |                                  |                                   

    Anmerkung zu ( 2d )  ; eine c-Zahl vertauscht mit jeder Matrix.

   Anmerkung; erst Matrixelement UND Dyade zusammen machen die Matrix aus. Jetzt notieren wir  T analog  (  2d  )

   T  =  <  k  |  T  m  >  (  |  k  >  <  m  |  )      (  3a  )

   Jetzt multiplizieren wir  ( 2d;3a ) - und zwar distributiv.

   B T = ( < i | B j > ) ( < k | T m > ) ( | i > < j | ) ( | k > < m | ) = ( 3b )

   = ( < i | B j > ) ( < k | T m > )  | i >  ( <  j | k  >  )  < m |  =  ( 3c )

= ( < i | B j > ) ( < k | T m > )  (   | i >  <  m  | ) DELTA ( j ; k  ) =  (  3d  )

     =  (  <  i  |  B  j  >  )  (  <  j  |  T  m  )  (  | i >  <  m  | )   (  3e  )

   mit  Delta  in ( 3d )  gleich Kronecker Delta . In ( 3e ) siehst du also ganz klar, wie die Regel " Zeile Mal Spalte "  auf ganz normal distributivem Wege zu Stande kommt.

   Und jetzt zeige ich dir mit dem selben Formalismus, dass zwei Matrizen unter der Spur vertauschen;  berechnen wir das Matrixelement

   <  i  |  B  T  m  >  =  <  i  |  B  *  1|  *  T  m  >  =     (  4a  )

  =  (  <  i  |  B  k  >  )  (  <  k  |  T  m  )  =       ( 4b )

  =  (  <  k  |  T  m  )  (  <  i  |  B  k  >  )         (  4c  )

   (  c-Zahlen vertauschen in ( 4b ) )

   ( 4c )  =  Sp  [  T  (  |  m  >  <  i  |  )  B  ]       (  5a  ) 

    Ich bin der erste, der für ein popeliges Matrixelement eine Spurdarstellung gefunden hat.  Dann folgt aber aus ( 4a;5a )

     Sp  (  B  T  )  =  <  i  |  B  T  i  >   =      (  5b  )

  =  Sp  [  T  (  |  i  >  <  i  |  )  B  ]  =    (  5c  )

  =  Sp  (  T  *  1|  B  )  =  Sp  (  T  B  )     (  5d  )  ;  wzbw