Krümmungsverhalten bestimmen

Question

ich habe die Funktion f(x)= x^2*e^x

Folgende Aufgabenstellung:

Untersuchen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion f(x). Ermitteln Sie dazu, wo die Funktion
eine Rechtskrümmung bzw. wo sie eine Linkskrümmung aufweist und insbesondere wo ihre
Wendepunkte liegen.

Um das Krümmungsverhalten zu bestimmen habe ich die Wendestellen ausgerechnet.

f''(x) = 0

Erhalte hiermit x₁ = -2 + sqrt(2) ; x₂ = -2 - sqrt(2)

Hätte nun 3 Intervalle

(-∞,-2 - sqrt(2)) ; (-2 - sqrt(2),-2 + sqrt(2)) ; (-2 + sqrt(2),+∞)

Aber wie weiß ich nun, ob das Intervall rechts-gekrümmt oder links-gekrümmt ist?

Muss ich Beispielsweise von einem Intervall einen Wert dazwischen nehmen und diesen in die dritte Ableitung einsetzen und falls es größer 0 ist es rechts-gekrümmt und bei kleiner 0 ist links-gekrümmt?

Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte um zu sagen wie ich die Krümmung bestimmte.

Euer Max

Answer 1

Hi Max,

um etwas knackiger zu antworten (da Du ja alles bereits erledigt hast):

Muss ich Beispielsweise von einem Intervall einen Wert dazwischen nehmen und diesen in die dritte Ableitung einsetzen und falls es größer 0 ist es rechts-gekrümmt und bei kleiner 0 ist links-gekrümmt?

Ja fast! Es ist genau andersrum :)

Rechtskrümmung: f''(x) < 0

Linkskrümmung: f''(x) > 0

Da einfach wieder Werte aus dem entsprechenden Intervall einsetzen, wie wir das bei der Monotonie gemacht hatten.

Grüße

Answer 2

f ´( x ) = x * e^{x} * (x + 2)
f ´´ ( x ) = e^{x} * (x^2 + 4*x + 2)
Krümmung 0
e^{x} * (x^2 + 4*x + 2) = 0
Satz vom Nullprodukt
x^2 + 4x + 2 = 0
x = √2 - 2
und
x = -√2 - 2

W1 ( √2 - 2 | 0.191 )
W2 ( -√2 - 2 | 0.384 )

W1 ( -0.586 | 0.191 )
W2 ( -3.41 | 0.384 )

Krümmung > 0 ( Linkskrümmung )
e^{x} * (x^2 + 4*x + 2) > 0
e^{x} ist stets > 0
(x^2 + 4*x + 2) > 0
x^2 + 4x + 2^2 > -2 + 4
( x + 2 ) ^2 > 2
1.
x + 2 > √ 2
x > -0.586
2.
- (x + 2 ) > √ 2
- x  -2  >  √ 2
x < -2 - √ 2
x < -3.41

            -3.41      -0.586
<----------|------------|------------>
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