Parameter d bestimmen bei einer Ebene

Question

Ich komme mit der unten stehenden Aufgabe nicht zurecht. Ich bekomme für d ständig was falsches raus. Kann mir jemand bei der Lösung helfen?

Gegeben sei die Ebene E=Ed in Abhängigkeit des reellen Parameters d durch die Koordinatengleichung E:x+2y−2z=d.

Bestimmen Sie d, so dass der Punkt P mit den Koordinaten (1|2|3) Abstand 3 von der Ebene E hat. Machen Sie sich klar, dass es zwei Lösungen gibt.

Answer 1

laut der Hesseschen Normalform berechnet man den Abstand eines Punktes zu einer Ebene mit

$$\frac{ax+by+cz-d}{|\vec{n}|}$$

hier

$$3=\frac{x+2y-2z-d}{|\vec{n}|}$$

$$\vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\2\\-2 \end{pmatrix}\\|\vec{n}|=\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}=3$$

Jetzt die Koordinaten von P in die Ebenengleichung einsetzen:

$$3=\frac{1+2\cdot 2-2\dot 3-d}{3}$$

Aufgelöst nach d ergibt das d = -10

Gruß

Silvia

Comments

vielen Dank für die hilfreiche Antwort!

Answer 2

Aus der Koordinatengleichung kannst du den Normalenvektor ablesen. Verwende diesen als Richtungsvektor einer Geraden durch (1|2|3). Bestimme den Schnittpunkt von Gerade und Ebene. Stelle damit eine Gleichung

      3 = Abstand Schnittpunkt zu Punkt (1|2|3)

auf. Löse diese Gleichung.

Comments

Also muss ich von der Geraden und Ebenen einen Schnittpunkt bilden. Und dann? kann danach nicht wirklich folgen, habe ich dann d raus?

---

Nein, dann hast du einen Schnittpunkt, in dem der Parameter d vorkommt.

Stelle einen Term für den Abstand des Schnittpunktes zum Punkt (1|2|3) auf.