DGL: y'' = a/(y + c) + b/(y - c)

Question

Ich würde gerne wissen, wie man eine solche DGL lösen kann oder nähern, falls es nicht mal ein definierte Lösungsfunktion hierfür gibt.

$$ \cfrac { d² }{ dt² } x(t)\quad =\quad \cfrac { a }{ x(t)\quad +\quad c } \quad +\quad \cfrac { b }{ x(t)\quad -\quad c } $$

Eine grobe Vorstellung, wie die Funktion aussehen könnte, habe ich, und zwar dass es eine Sinus-artige Funktion ist, die durch den Koordinatenursprung geht, immer kleinere Ausschläge hat und asymptotisch gegen eine Konstante geht für t = unendlich. Jedoch möchte ich nicht spekulieren oder es nur grafisch machen, da ich die Aufgabe kenne, sondern ein analytisches Vorgehen verwenden.

a, b, c, t sind alle positiv reell

Answer 1

Ein bekannter Trick für \(\ddot{x}=f(x)\) geht so: Multipliziere mit \(2\dot{x}\) und benutze \(\frac{d}{dt}\dot{x}^2=2\dot{x}\ddot{x}\). Wenn dann \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, hat man \(\dot{x}=\pm\sqrt{2F(x)+C}\). Probiere aus, wie weit Du dann noch kommst.

Comments

In welcher Dimension ist F eine Stammfunktion von f? In x oder t?
Ich verstehe nicht, wie man auf letztere Gleichung kommt.
$$ { \dot { x }  }^{ 2 }\quad =\quad 2\int { \dot { x } f(x)\quad dt } \quad =\quad 2\quad F(x)\quad +\quad C $$

Schließlich ist noch das x' unter dem Integral, das kann ich doch nicht einfach weglassen.

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Wenn man nach x integriert, sollte schonmal gelten
F(x) = a*ln(x+c) + b*ln(x-c)

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x ist eine Funktion von t. So Sachen wie Ketten- und Substitutionsregel sollte man für die Aufgabe draufhaben.

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der Kommentar hilft mir nicht weiter. Ich habe selbst gesagt, dass x eine Funktion von t ist und Kattenregel sagst doch bloß aus, dass man etwas ableitet und dies mit der innereren Ableitung multipliziert. Und welche Subsitutionsregeln meinst du? Wie man eine Integrationsvariable subsituiert weiß ich normalerweise.

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Wenn Du das alles draufhast, wo ist dann das Problem? $$\int f(x(t))\dot{x}(t)\,dt=\,?$$

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Ja ok, wenn ich substituiere, komme ich auch auf das Ergebnis, allerdings sehe ich nicht, inwiefern das unser eigentliches Problem vereinfacht. Beide Seiten der Gleichung sind immer noch 2 Ableitungsstufen voneinander getrennt

Mit wiederholen der Taktik erhalte ich dann
$$ x\quad =\quad \sqrt [ 4 ]{ 8 } \sqrt { \int { x\quad \sqrt { a\quad ln(x+c)\quad +\quad b\quad ln(x-c)\quad +\quad k } \quad dt }  }  $$

Und umgestellt dann

$$ \frac { { x }^{ 2 } }{ \sqrt { 8 }  } \quad =\int { x\quad \sqrt { a\quad ln(x+c)\quad +\quad b\quad ln(x-c)\quad +\quad k } \quad dt }  $$

Stimmt das denn soweit?

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Ich habe keine Ahnung, was Du da anstellst.

Aus \(\ddot{x}=f(x)\) wird \(\dot{x}=\pm\sqrt{2F(x)+C}\), wenn \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Die letzte Gleichung ist eine erster Ordnung mit getrennten Veraenderlichen.

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Ich kam mit dem Trick mit 2x'x'' zu multiplizieren und dann x' zu substituieren auf dein Zwischenergebnis. Anschließend habe ich das Wiederholt, in dem ich 2x multipliziert habe und dann wieder integriert und substituiert.

$$ 2x\dot { x } =\quad \frac { d }{ dt } { x }^{ 2 }\quad =\quad 2x\quad \sqrt { 2 } \sqrt { F(x)\quad +\quad k } \\ { x }^{ 2 }\quad =\quad \sqrt { 8 } \int { 2x\quad \sqrt { F(x)\quad +\quad k }  } \quad dt\\ x\quad =\quad \sqrt [ 4 ]{ 8 } \sqrt { \int { 2x\quad \sqrt { F(x)\quad +\quad k } \quad dt }  }   $$

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Und was soll das jetzt bringen? Das ist eine vertrackte Funktionalgleichung für die gesuchte Lösung. Die ist nicht hilfreich. Der Trick geht nur ein Mal. (Warum?)

Die Gleichung \(\dot{x}=\pm\sqrt{2F(x)+C}\) loest man durch Trennung der Veraenderlichen. Also man kann es zumindest versuchen. Dann geht es weiter mit $$\int\frac{dx}{\sqrt{2F(x)+C}}=\pm t+D.$$