Ungerade und gerade Funktionen. Behauptungen

Question

Überprüfen von Aussagen mit Begründung

Kann mir jemand bei den folgenden Aussagen helfen und sagen, warum sie richtig oder falsch sind?

1. Es gibt eine Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist.

2. Verschiebt man den Graphen einer geraden Funktion, so erhält man den Graphen einer Funktion, die nicht gerade ist.

Answer 1

1. Es gibt eine Funktion, die sowohl gerade als auch ungerade ist.

Ja. Beispiel f(x):= 0, x ∈ ℝ

Begründung

f ist eine gerade Funktion, denn  0= f(-x) = f(x) = 0 für alle x Element R

f ist eine ungerade Funktion, denn  0= - f(-x) = f(x) = 0 für alle x Element R

2. Verschiebt man den Graphen einer geraden Funktion, so erhält man den Graphen einer Funktion, die nicht gerade ist.

Nein. Das ist nicht zwingend so!

Beispiel f(x):= x^2, x ∈ ℝ

Verschobener Graph g(x):=(x-2)^2,  x ∈ ℝ

Verschobener Graph h(x):=(x)^2++,  x ∈ ℝ

~plot~ x^2;(x-2)^2;x^2+1 ~plot~


Begründung
f ist eine gerade Funktion, denn  f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) für alle x Element R
g ist keine gerade Funktion, denn  g(-2) = (-2 - 2)^2 = 16 aber g(2) = (2-2)^2 = 0^2 = 0 ≠ 16 .

h ist eine gerade Funktion, denn h(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = h(x) für alle x Element R. 

Comments

Bei 2): dein g(x) ist doch kein Gegenspiel zu der Aussage.

Besser eignet sich z.B g(x)= f(x)+1

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Danke. Richtig. Habe die Frage falsch gelesen.

Wenn du nach oben verschiebst, hast du wieder eine gerade Funktion. (Gegenbeispiel)

Wenn du horizontal verschiebst, hast du keine gerade Funktion mehr. (kein Gegenbeispiel)

Habe das richtige Gegenbeispiel oben grün ergänzt. 

Answer 2

2. Verschiebt man den Graphen einer geraden Funktion, so erhält man den Graphen einer Funktion, die nicht gerade ist.

Bearbeite zuerst Aufgabe 1, um ein geeignetes Gegenbeispiel zu finden!