Bestimmen Sie mithilfe des Satzes zwei Basen A und B. Abbildungsmatrix, Basen, Nullen und Einsen.

Question

Aufgabe:

Es sei die \( \mathbb{R} \)-lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{5} \rightarrow \mathbb{R}^{4} \) durch die folgende Abbildungsmatrix gegeben:

\( M_{E_{4}}^{E_{5}}(f)=\left(\begin{array}{rrrrr} 2 & 1 & 0 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 2 & 2 & 1 \end{array}\right) \)

wobei \( E_{5} \) und \( E_{4} \) die Standardbasen des \( \mathbb{R}^{5} \) und \( \mathbb{R}^{4} \) sind. Bestimmen Sie mithilfe des Satzes 4.49 zwei Basen \( \mathcal{A} \) und \( \mathcal{B} \) des \( \mathbb{R}^{5} \) bzw. \( \mathbb{R}^{4} \), für die gilt:

\( M_{\mathcal{B}^{A}}(f)=\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & & \ldots & & 0 \\ 0 & \ddots & & & & \\ & & 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 & & \\ & & & & \ddots & 0 \\ 0 & & \ldots & & 0 & 0 \end{array}\right) \)

Satz 4.49

Seien \( V \) ein \( n \)-dimensionaler Raum und \( W \) ein \( m \)-dimensionaler Raum, sowie \( L \in \operatorname{hom}(V, W) \).

Dann gibt es Basen \( v_{1}, \ldots, v_{n} \) von \( V \) und \( w_{1}, \ldots, w_{n} \) von \( W \), so dass die \( L \) beschreibende Matrix A bzgl.| dieser Basen die Gestalt

\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) \)

Beweisidee:
- wähle Basis \( w_{1}, \ldots, w_{k} \) von \( i m(L) \), bestimme \( v_{1}, \ldots, v_{k} \) mit \( L\left(v_{i}\right)=w_{i} \)
- ergänze die \( v_{i} \) um Basis von \( \operatorname{ker}(L) \) zu Basis von \( V \)
- ergänze die \( w_{i} \) beliebig zu Basis von \( W \)

Ansatz/Problem:

Ich weiß bereits, dass ich nun den Kern von L und die Basis des Kerns u_k+1 , ... u_n bestimmen muss, allerdings komme ich mit der Darstellung von der Matrix M^E5_E4 nicht ganz klar und wozu ich die erste gegebene Matrix brauche.

Comments

Hallo bestimme erst mal die Basis des Bildes ,bzw. eine Basis des Bildes, und eine Basis des Kerns. Was bleibt dann noch?

Answer 1

wozu ich die erste gegebene Matrix brauche.

Das ist die Information darüber, wie die Abbildung überhaupt funktioniert:

Wenn du also z.B. den Vektor   v =

2
0
3
1
-1

abbilden willst, dann rechnest du  M*v und bekommst

5
11
6
15

Wenn du auf diese Weise die kanonischen Basisvektoren abbildest, siehst du, dass

das Bild vom ersten die erste Spalte der Matrix ergibt und das Bild vom zweiten die 2. Spalte etc.

Und wenn du in R^5 einen Basisvektor aus dem Kern nimmst, hast du als Bild den

Nullvektor und damit in der entsprechenden Spalte der neuen Abbildungsmatrix lauter

Nullen. Du brauchst also für den 3. und 4. Basisvektor (Der Kern ist ja hier 2-dimensional)

einfach nur eine Basis des Kerns. Ich bekomme da die Spalten, (die ich jetzt mal

als Zeilen schreibe)  (-1 , -1 , 1 , 1 , 0 ) und ( 0 , -2 , -0.5 , 0 , 1) .

Dazu nimmst du die ersten 3 kanonischen Basisvektoren von R^5, die sind nämlich davon

linear unabhängig.

Jetzt brauchst du nur noch eine passende Basis von R^4 .  Für die ersten 3 nimmst du einfach die Bilder

der ersten 3 Basisvektoren , das sind genau die ersten 3 Spalten von M und ergänzt die zu einer

Basis von R^4.  Zum Beispiel mit dem Vektor

0
1
0
1

oder irgendeinen, der von den ersten 3 lin. unabhängig ist.

Die gesuchten Basen sind also

$$A=(\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} -1\\-1\\1\\1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\-2\\-0,5\\0\\1\end{pmatrix})$$und$$B=(\begin{pmatrix} 2\\3\\1\\4\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1\\1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\2\\2\\2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0\\1\\0\\1\end{pmatrix})$$