bijektiv Umkehrfunktion beweis

Question

Es muss gezeigt werden dass eine Abbildung f: A -> B genau dann bijektiv ist, wenn es eine Abbildung g: B->A gibt, sodass g  ο  f = idA  und f ο g =idB ist.

Nun ich hab null Ahnung wie man diese Aussage beweisen soll x( es wäre sehr lieb wenn mir jemand helfen könnte...

Answer 1

sei \( f: A \rightarrow B \) bijektiv, das heißt injektiv und surjektiv. Das heißt für alle \( b \in B \) existiert ein \( a \in A \), sodass \( f(a) = b \) und aus \( b_1 = f(a_1) \neq b_2 = f(a_2) \) folgt \( a_1 \neq a_2 \).

Hieraus folgt die Existenz einer Umkehrabbildung \( g: B \rightarrow A \), für die gilt \( g(f(a)) = a \). Daraus folgt auch \( f(g(f(a))) = f(a) \) oder \( f(g(b)) = b \).

Existiere andererseits eine Abbildung \( g \), sodass \( f \circ g = id_B \) und \( g \circ f = id_A \).

Aus der Injektivität von \( g \circ f = id_A \) folgt die Injektivität von \( f \), aus der Surjektivität von \( f \circ g = id_B \) folgt die Surjektivität von \( f \).

MfG

Mister

Comments

Ein kleiner Fehler ist mir aufgefallen.

Es müsste eigentlich in der 3.Zeile heißen: " und aus b1 = f(a1) = b2 = f(a2) folgt a1 = a2." So wie es nämlich da steht, ist es nicht die Eigenschaft Injektivität, sondern das gilt für jede Abbildung, die eindeutig sein muss. Injektivität bedeutet ja gerade, dass keine zwei unterschiedlichen Werte auf denselben Funktionswert abgebildet werden.

Das nur zur Korrektheit.