Bernoullische Ungleichung

Question

1) ( Bernoullische  Ungleichung) . Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass (1+x)^{^n} >(gleich) 1+nx

für alle x>(gleich)-1 und n>(gleich)1

 

2) Beweisen Sie, dass sich eine Pizza durch n geradlinige Schnitte, die von Rand zu Rand verlaufen, in höchstens 1/2(n²+n+2) Stücke teilen lässt.

 

3) Bilden Sie die Verneinung der folgenden Aussagen:

a) Alle Aufgaben sind zu schwer oder langweilig.

b) Alle Aufgaben sind entweder zu schwer oder langweilig

Hinweis: Wir folgen hier den Konvention der mathematischen Fachsprache, den bloßen Ausdruck oder als das einschließende Oder ( mindestens einer der beiden Alternative trifft zu) zu interpretieren. Demgegenüber ist die Wendung entweder......oder als ausschließende Oder ( genau eine der beiden) Alternativen trifft zu) zu verstehen. Falls Ihnen dieser Hinweis Kopfzerbrechen bereitet, dann weiderholen Sie schleunigst den entsprechenden Abschnitt aus der Vorlesung.

c) Es gibt Dreiecke, die genau zwei rechte Winkeln haben.

d) Wenn zwei Ebenen einen gemeinsamen Punkt besitzen, dann sind sie nicht parallel.

Comments

Das mit der Pizza habe ich unter

https://www.mathelounge.de/53988/beweis-durch-geradlinige-schnitte-hochstens-stucke-teilbar

gelöst. es wäre günstiger nicht zusammenhängende Fragen alle einzeln einzustellen. Nur zusammenhängende Fragen sollten auch zusammen eingestellt werden.

Answer 1

(1 + x)^n ≥ 1 + nx    für x ≥ -1 und n ≥ 1

Induktionsanfang: Zeigen das es für n = 1 gilt.

(1 + x)^1 ≥ 1+1x
1 + x = 1 + x

Induktionsschritt: Zeigen das es für n + 1 gilt, wenn es für n gilt.

(1 + x)^{n + 1} ≥ 1 + (n + 1)x
(1 + x)^n * (1 + x) ≥ 1 + nx + x   | Laut Annahme ist (1 + x)^n ≥ 1 + nx
(1 + nx) * (1 + x) ≥ 1 + nx + x
nx^2 + nx + x + 1 ≥ 1 + nx + x
nx^2 ≥ 0

q.e.d.