Lösung der DGL einer gebremsten Klappe

Question

Die DGL A*(y')² + B*y^2 + C*cos y + D*y + E = 0

möchte ich unbestimmt nach x integrieren. A,B,C,D,E sind Konstanten. Durchmultiplizieren der Gleichung mit y' ergibt für jeden Summanden - AUSSER dem ersten - ein unbestimmtes Integral. So vorgegangen, ließe sich das Problem reduzieren auf das unbestimmte Integral von A*(y')^3. Leider finde ich aber keinen Ansatz dafür.

Natürlich wäre ich auch für andere Lösungswege offen. Ob jemand helfen könnte?

Comments

Ich korrigiere: Zweiter Summand muß heißen B*y² , das Problem bleibt aber nach wie vor der erste Summand.

EDIT(Lu): Oben korrigiert. 

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Ist eine numerische Lösung keine Alternative?

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Danke der Nachfrage!

Ja, in Ermangelung einer geschlossenen Lösung bin ich schon dabei. Die obige Gleichung geht auf eine eine Bewegungs-DGL 2. Ordnung zurück, die einmal integriert wurde. Mein Vorgehen:

1. Numerische Lösung der DGL 2. Ordnung im Zeitbereich (x=>t), um eine Vorstellung über die Schließdauer der Klappe zu bekommen.

2. Nutzen der Gleichung obiger Form um Auskunft über den Schließgeschwindigkeitsverlauf (y') über den Schließwinkel (y) zu bekommen.

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Hallo HPN,

Numerische Lösung der DGL 2. Ordnung ...

Deine Gleichung oben ist nur von 1.Ordnung. Und wenn \(y'\) die Geschwindigkeit ist, dann fehlt für eine allgemeine Bewegungsgleichung das \(y''\). Deine DGL ist:

$$y'^2 + \frac{B}{A} \cdot y^2 + \frac{C}A \cdot \cos y + \frac{D}A \cdot y + \frac{E}A = 0$$ oder?

Wie groß ist der (Winkel-)Bereich in dem sich das \(y\) bewegt? könnte man in diesem Bereich den Cosinus linearisieren? oder zumindest durch eine quadratische Funktion ersetzen?

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Hallo Werner-Salomon, auch Dir vielen Dank fürs mitdenken!

Ja, die DGL ist von 1. Ordnung, ich schrieb ja auch, das sie auf eine von 2. Ordnung zurückginge. Diese wiederum lautet: T*y'' + K*y - M*sin y + M = 0. Einmal unbestimmt integriert wird die obige DGL daraus.

Mein Vorhaben ist, die DGL 2.Ordnung numerisch zu integrieren, um den Zeitraum bis zur geschlossenen Klappe abschätzen zu können. Danach mit der Ausgangs-DGL benutzen, die Schließgeschwindigkeit y' zu untersuchen.

Die Klappe steht 8° über die Senkrechte hinaus offen, wird geführt bis etwas über die Senkrechte -  hier fängt y zu zählen an - und wird dann fallengelassen. Ende der Bewegung ist y = 90°, die klappe ist waagerecht.

Ich denke, das Linearisieren des cos-Anteils ist nicht ratsam, da es sich nicht um kleine Winkel handelt, das Problem damit per se nichtlinear ist und leider auch bleibt.

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Hallo kannst du sagen wie du y^2*y'=(y^2)'*y integrierst ?

Gruß lul

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Hallo LUL,

ich verstehe die Frage nicht wirklich. Wie kommt es zur rechten Seite der Gleichung?

y²*y' würde ich unbestimmt nach x integrieren mit 1/3*y³ , dabei Kettenregel vorausgesetzt.

Gruß, HPN

Answer 1

Wenn Du numerisch arbeiten willst, gehst Du am besten von der linearen Dgl. 2-ter Ordnung aus und transformierst dies in ein System erster Ordnung.

Dann bekommt man als Lösung sofort die Position und die Geschwindigkeit als Lösung.

Ich habe das mal mit einem CAS (Mathcad) berechnet für fiktiv angenommene Parameter T, K und M. Hiflt das weiter?

Comments

Hallo Ullim,

Wenn ich Mathcad zur Verfügung hätte, wäre die Sache natürlich einfacher, besonders wenn ich Parameterstudien machen möchte/muß. Insofern wäre mir eine geschlossene Lösung natürlich lieber.

Muß übrigens die DGL 2.Ordnung korrigieren: Der letzte Summand M ist zu ersetzen durch D, Also: T*y'' + K*y - M*sin y + D = 0

Waren die AB auch beliebig gewählt? In Realität ist y₁'(0) = y₂(0) =0, y₁(0,35 rad) = 0. (y_Ende= π/2 rad)

Nun bin ich allerdings neugierig geworden. Die Parameter sind: T = 0,34 kgm^2, K = 25,1*10^-3 Nm/rad, M = 8,855 Nm, D = 3 Nm.

Meinst Du es wäre möglich, den Parametersatz mal zu rechnen? Ich würde versuchen Deine DGL-SystemIdee mit einem OnlineRechner aufzugreifen und Deine Ergebnisse als Vergleichsbasis zu verwenden. Wäre echt nett!

Gruß, HPN

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Ich kann das mal rechnen. Du kannst es selber aber auch gut mit R machen. Ist umsonst und bestimmt so umfangreich wie Matlab. Ich melde mich wieder, wenn ich das Ergebnis habe.

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y₁(0,35 rad) = 0

wie ist dies zu verstehen? \(y\) ist doch selbst der Winkel - oder? Und was sind \(y'_1\) und \(y_2\)?

$$0,35 \text{rad} \approx 20°$$ aber oben war von \(8°\) die Rede.

Die Klappe steht 8° über die Senkrechte hinaus offen, wird geführt bis etwas über die Senkrechte -  hier fängt y zu zählen an - und wird dann fallengelassen. Ende der Bewegung ist y = 90°, die Klappe ist waagerecht.

Wenn \(y(t=0)=0\) und \(y'(t=0)=0\) ist, fällt die Klappe nach Deinen Parametern in Richtung negativem \(y\). Ist das richtig?

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Aber Werner-Salomon hat schon recht. Mit den Anfangsbedindungen stimmt was nicht.

Ich habe die Startposition auf 8° gesetzt und die Geschwindigkeit auf 0°/s

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Hallo Ullim und Werner-Salomon,

Ihr habt beide Recht. Ich war nicht ausreichend präzise in der Beschreibung. Weit oben habe ich die allgemeine Situation dargestellt:

Die Klappe überschreitet in der Ausgangsposition die Senkrechte um 8° (präzise gesagt: -8°), liegt somit sicher an einem Anschlag - gehalten durch Eigengewicht. Beim Schließen führt man sie aus dieser Lage über die Senkrechte hinaus zurück. Ab der Senkrechten beginnt der Winkel (positiv) zu zählen.

Nun wird die Klappe gebremst sowohl durch einen Dämpfer als auch eine Feder. Würde man die Klappe bereits z.B. bei y= +5° loslassen, würde sie vermutlich SEHR langsam zugehen (Scharnierreibung vernachlässigt) oder gar stehenbleiben (Reibung mitgenommen), da das treibende Schließmoment aus Eigengewicht noch nicht hoch ist (=> sinus-Komponente). Das ist der Grund für die neue Startbedingung y = 0,35 rad (20°).

Meine ersten Rechenläufe haben ergeben, dass (bei weggelassener Feder => K=0) durch den gewählten Reibungsdämpfer die Klappe sogar ein y(0) ca. 42° bräuchte, um nach dem Loslassen mathematisch nicht rückwärts zu laufen. Das hat natürlich auch etwas mit der Modellierung zu tun, denn das Dämpfermoment wirkt konstant ab Einwirken, anstatt z.B. mit einer Rampe. Dennoch empfinde ich den y(0) Wert als hoch.

R ist eine gute Idee, ich kenne das durch einen Kollegen, der es verwendet hat. Selber habe ich es noch nicht angewendet.

Ich möchte mich für Euren freundlichen Input sehr, sehr bedanken. Das hätte ich so nicht erwartet!

Gruß, HPN

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... sowohl durch einen Dämpfer ..

ist es ein Dämpfer oder eine (geschwindigkeitsunabhängige) Reibung? Wenn es ein Dämpfer ist, dann fehlt in der DGL ein Term mit \(\dot y\) bzw. \(y'\).

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Ja, richtig. der Hersteller bezeichnet diese "Dinger" als Dämpfer, behauptet im selben Moment, er arbeitet auf Reibungsbasis. Wenn das stimmt, ist in erster Näherung das Reibmoment als konstant anzusetzen, wenngleich beim Übergang von Haft- auf Gleitreibung ein Reibwertsprung statfindet.