Nullstellen von b(x)=x^4-3x^3-3x^2+x

Question

Wie bestimmt man die Nullstelle dieser Funktion?

b(x)=x⁴-3x³-3x²+x

Gerne mit Lösungsweg :)

Answer 1

x^4 - 3·x^3 - 3·x^2 + x = 0

x·(x^3 - 3·x^2 - 3·x + 1) = 0

x = 0

x^3 - 3·x^2 - 3·x + 1 = 0 --> Nullstelle raten bei x = -1 und Polynomdivision

(x^3 - 3·x^2 - 3·x + 1) : (x + 1) = x^2 - 4·x + 1 = 0 --> x = 2 ± √3

Damit sind alle 4 Nullstellen gefunden.

Comments

Für Masochisten: Statt Polynomdivision Cardano-Formel verwenden. :)

---

Google mal, was Masochismus ist. Sicher, dass du das meinst?

---

Und für die, die es einfacher wollen, ist das Horner Schema geeignet:

x = -1

1	-3	-3	1
0	-1	4	-1
1	-4	1	0

x^2 - 4·x + 1 = 0 --> x = 2 ± √3

---

Gefällt dir Heautotimoroumenoi ( griech. Plural) besser? :)

https://de.wikipedia.org/wiki/Heautontimoroumenos

---

Ich rechne mit den Cardanischen Formeln, weil ich in der Mathematik ungern rate.

---

Jeder bessere Taschenrechner errät dir bei einer Gleichung dritten Gerades mithilfe der Formeln die Nullstellen.

Da der Lehrer eh nicht sehen kann wer genau geraten hat ist es völlig unnötig selber die Formeln anzuwenden.

Zumal die Formeln bis zum Abi eigentlich auch nicht gelehrt werden.

---

Ist aber gut fürs Kopfrechnen beim Durchprobieren. :)

---

Naja. Bei x^2 - 4·x + 1 = 0 kommen als ganzzahlige Nullstellen eh nur +1 und -1 infrage. Da braucht man nicht lange Raten. Das +1 nicht funktioniert sieht man weil die Summe der Koeffizienten offensichtlich nicht Null ist. Das -1 eine Nullstelle ist sieht man auch recht einfach.

---

Der Fall \(Δ>0\) ist halt ein bisschen blöd. Trotzdem lassen die Cardanischen Formeln mein Herz höher schlagen!

---

Das ist aber leider nicht immer so. Nimm mal als Konstante 24. :)

---

Der beste Weg ist aber doch, wenn man faktorisiert:

x^4-3x^3-3x^2+x=0

x(x^3-3x^2-3x+1)=0

x((x+1)*(x^2-x+1)-3x*(x+1))=0

x(x+1)*(x^2-x+1-3x)

x(x+1)*(x^2-4x+1))  -----> x1=0  x2=-1

PQ-Formel auf markiert anwenden:

---

Das geht aber leider selten so einfach, nur in Spezialfällen und die muss man erkennen.:)

Answer 2

x^4-3x^3-3x^2+x =0

x (x^3-3x^2-3x+1 =0 ) Satz vom Nullprodukt

x₁=0

x^3-3x^2-3x+1 =0  , Hornerschema oder Polynomdivision

(x+1)( x^2 -4x+1)=0

x₂= -1

x^2 -4x+1)=0 ->PQ-Formel

x₃=  2 - √3

x₄= 2 + √3