Satz des Cavalieri. Satz erklären und Vor- bzw. Nachteile nennen

Question

Ich soll anhand dieser Abblidung den Satz erklären und Vor. Bzw. Nachteile dieser Methode nennen.

Vielleicht verstehe ich den Satz ja noch nicht richtig und kann es deswegen nicht.

Wäre dankbar wenn jemand mir helfen könnte.

Da ich noch kein Bild hochladen darf hier eine Beschreibung: Es ist eine Pramide Abgebildet, die dis obenhin mit Quadraten gefüllt ist, die Höhe der Quadrate ist immer die selbe. So besitzt die Pyrsmide eine Höhe und Breite von 10 cm.  Das erste Quadrat hat dann eine breite von 10 Cm und einer höhe von 1 cm, das zweite eine breite von 9 cm und eine Höhe von 1 cm u.s.w

Comments

Gut beschrieben. Wenn du willst, kannst du deine Skizze in einem Kommentar nachreichen. Du kannst aber auch erst mal die "ähnlichen Fragen" studieren und dann gleich ein Bild von deiner vollständigen Rechnung einstellen als Kommentar.

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Hallo Delia,

Du meinst wahrscheinlich ein Bild wie Du es auf dieser Webseite (http://www.mathaware.org/mam/00/master/essays/B3D/2/volume.html) ganz unten findest.

Hast Du konkrete Fragen dazu? Brauchst Du die Info noch heute am vormittag?

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Hier ist das Bild, Danke euch für den Tipp.

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*Und nein, ich soll nur anhand der Abbildung den Satz erläutern. Weiterhin sollen Vorteile und Nachteile genannt werden, diesen Satz mit genau so einer Abbildung zu erläutern.

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Cavalieri ist eigentlich nur die unterste Illustration im Link von Werner-Salomon. Man darf die Scheiben horizontal verschieben ohne dass sich das Volumen ändert.

In deinem mittleren Bild ist eine sogenannte Obersumme für das Pyramidenvolumen zu sehen.

In deinem rechten Bild eine Untersumme.

Mit beiden kann man das Volumen der Pyramide schätzen. Die Obersumme ist zu gross, die Untersumme zu klein.

Wenn man die Differenz = Obersumme - Untersumme ausrechnet, hat man eine Abschätzung für den maximalen Fehler des Resultats.

Nun kannst du die Scheiben verschmälern auf z.B. 1mm. Automatisch verkleinert sich der Fehler der beiden Resultate.

Unterteilt man die Höhe 1 dm in n Teile der Höhe 1/n dm, kann man Ober- und Untersumme und deren Differenz in Abhängigkeit von n angeben.

Nun von allen 3 Summen den Grenzwert bestimmen und du hast eine plausible Definition für das Volumen der Pyramide. (Volumen der Differenz geht gegen 0 )

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Gemäß dem Satz von Cavalieri muss man die Quaderscheiben gedanklich in einen Würfel packen und in Richtung einer seiner senkrechten Kanten verschieben, um dann anschaulich oder sonstwie einzusehen, dass näherungsweise ein Drittel des Würfels durch die Scheiben gefüllt ist.

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Was ihr hier beschreibt und diskutiert ist nicht der Satz von Cavalieri. Der geht so:

https://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Cavalieri

Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn all ihre Schnittflächen in Ebenen parallel zu einer Grundebene in entsprechenden Höhen den gleichen Flächeninhalt haben.

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Die Abbildungen, die DELIA zur Frage nachgeliefert hat, legen nahe, dass Cavalieri angewendet und nicht bewiesen werden muss.

Ich kenne auch keinen eigentlichen Beweis des Satzes von Cavalieri und kenne den als Prinzip von Cavalieri. https://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Cavalieri

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"Satz des Cavalieri. Satz erklären und Vor- bzw. Nachteile nennen" steht hier als Ueberschrift. Die Skizze ergibt keine Anwendung oder Erklaerung des Satzes. Sie verweist in Richtung Approximation und Integralrechnung. Ein etwas anderes Thema.

Bei Cavalieri hat man immer zwei Koerper. Einen mit bekanntem Volumen und einen mit bisher unbekanntem Volumen. Durch Vergleich der Schnitte soll man auf Gleichheit der Volumina kommen, vgl. etwa die Bestimmung des Kugelvolumens durch Archimedes. In dieser Hinsicht koennte man sagen: Nachteil ist, dass man immer einen passenden Vegleichskoeper mit bekanntem Volumen finden muss, sonst geht es nicht vorwaerts.

Man kann aber eine analytische Fassung des Prinzips von Cavalieri angeben: $$|V|=\int_0^h|V_z|\,dz.$$ Da soll \(|V|\) das Volumen des gesuchten Koerpers sein und \(|V_z|\) die Flaeche des Schnittes in Hoehe \(z\). In dieser Form hat man einen Bezug zu der Skizze, wenn man Unter- und Obersummen für das Integral betrachtet. Und man kann die Formel dann auch beweisen. Das ist aber hoehere Mathematik.

Worum also geht es bei der Frage? Was soll erklaert werden? Von was für Vor- und Nachteilen ist die Rede? Wo ist der Bezug zu der Skizze? Auf welchem Niveau ist die Frage zu behandeln? Schulniveau?

Answer 1

Cavalieri zerlegt die quadratische Pyramide in Quader mit quadratischer Grundfläche und der Höhe 1. Die Grundkanten der Quader werden so gewählt, dass die Quader mit vier Kanten an die Pyramidenwand stoßen. Dann ist das Volumen aller Quader zusammen etwas kleiner, als das Volumen der Pyramide.Will man das Volumen genauer bestimmen, muss man die Höhe h der Quader kleiner wählen. Für h gegen 0 geht  die Summe der Quadervolumina gegen das Pyramidenvolumen.